Антонио Дуран
«Мир математики»
№ 27
«Поэзия чисел.
Прекрасное и математика»
Предисловие
Поэзия — это недоказуемая истина. Согласно словарному определению, цель поэзии — передать красоту с помощью слов. В том же толковом словаре математика определяется как дедуктивная наука, исследующая свойства таких абстрактных сущностей, как числа, геометрические фигуры и символы, а также отношения между ними. В это определение следовало бы включить один очень важный элемент: когда математик выбирает, какие свойства чисел или абстрактных сущностей изучать, он часто руководствуется их красотой. Лингвисты, которым буквы ближе, чем числа, видимо, не поняли до конца неразрывную связь между математикой и прекрасным, хотя кто-то из великих сказал, что именно красота — проводник на пути к математическим открытиям.
Математик находится посередине между наукой и искусством, и это также доказывает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Анри Пуанкаре писал: «Могут вызвать удивление эмоции, пробуждаемые математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».
Обо всем этом — о красоте математики, сколь реальной, столь и труднодостижимой, об эмоциях, неразрывно связанных с этой необычной наукой, и о многом другом рассказывается в нашей книге. Ее цель — показать красоту математики и на нескольких ярких примерах продемонстрировать весь спектр связанных с математикой эмоций. Автор не ставил перед собой задачу создать развернутый теоретический дискурс или нагромоздить целую гору рассуждений и аргументов в защиту заявленной темы. Слишком много теоретизировать по поводу красоты математики столь же абсурдно, как и пытаться объяснить, чем именно прекрасна Девятая симфония Бетховена.
Все примеры представлены в соответствующем историческом и эмоциональном контексте, и их яркая мозаика раскрывает важные эпизоды человеческой истории за последние двадцать пять столетий. Автор постарался сделать изложение напряженным и интересным. Разумеется, мы не забыли и о традиционных искусствах — живописи, литературе и архитектуре, на примере которых мы продемонстрируем совпадения и подчеркнем различия.
Глава 1
Место красоты в математике
Если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, он наверняка лишь удивленно поднимет брови. И тем не менее в массовом сознании укрепилась мысль о том, что математика полна элегантности и гармонии, а математические рассуждения не лишены определенной красоты. Как это свойственно западной культуре, идея о связи между красотой и математикой сформировалась под влиянием великих законодателей мнений — классических древнегреческих философов. Для Платона пропорциональность и соразмерность, составлявшие суть древнегреческой математики, были синонимом красоты. Аристотель писал: «Важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность и определенность, и математика больше всего выявляет именно их». Впоследствии красоту математики восхваляло множество ученых и мыслителей. «Геометрия есть архетип красоты мира», — писал астроном, астролог и математик Иоганн Кеплер в XVII веке. Позднее, уже в XX столетии, философ и логик Бертран Рассел отмечал: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Лауреат Нобелевской премии по физике Поль Дирак говорил: «Физические законы должны обладать математической красотой».
И все же если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, никого не удивит скептическое выражение его лица. Должно быть, красота математики подобна очарованию классических произведений: о нем знают почти все, но мало кто смог почувствовать его сам.
Эту книгу следует начать с выражения, отражающего массовые представления: математика обладает красотой. Но чтобы умерить пыл излишне оптимистичных читателей, следует добавить, что насладиться этой красотой непросто. В этой главе мы объясним, в чем заключается красота, которой, по нашему мнению, обладает математика, а в следующей главе обсудим, почему математическую красоту столь сложно оценить. И вначале уточним значение понятий, о которых пойдет речь, то есть определим, что означает «математика» и «красота».