Если мы отсечем от прямоугольника золотого сечения бесконечное число квадратов и будем соединять противоположные вершины этих квадратов дугами длиной в четверть окружности, получим спираль золотого сечения, изображенную ниже.
Именно такую форму имеет раковина наутилуса, в виде этой спирали располагаются семена подсолнуха, облака в ураганах и антициклонах и звезды во многих галактиках.
Форму золотой спирали имеют раковины наутилуса, ураганы и галактики.
Золотое сечение присутствует в природе повсеместно. Оно привлекало математиков, художников, архитекторов и музыкантов. Обратимся к творчеству Дюрера. Из всех художников Возрождения он, возможно, лучше всех разбирался в математике. Все, что Дюрер знал о возведении городских стен и крепостей, об использовании циркуля и угольника для измерения размеров твердых тел, о пропорциях человеческого тела и о форме букв алфавита, он изложил во множестве книг, напечатанных после его смерти. Большую часть математических знаний Дюрер получил в Италии. По рекомендации венецианского художника Якопо де Барбари он в 1506 году отправился в Болонью, где постигал тайную науку у неизвестного наставника. Многие считают, что этим учителем был монах-францисканец Лука Пачоли, который в 1494 году составил большую математическую энциклопедию XV столетия. До какой степени Дюрер проник в тайны изученной им науки, в которой золотое сечение было заветной формулой идеальных пропорций человеческого тела, можно судить по его прекрасным картинам, где изображены обнаженные Адам и Ева. Оцените разницу между головастым Адамом и пышнотелой Евой на гравюрах Дюрера 1504 года (сегодня они хранятся в венской галерее Альбертина) и ими же, прекрасными и стройными, на картинах 1507 года (они выставлены в мадридском музее Прадо).
Чему Дюрер научился за три года с момента создания гравюры слева до написания картины справа? Чем вызвана эта разница в пропорциях тел Адама и Евы на его картинах?
Как показал Гурвиц, золотое сечение задается иррациональным числом, которое хуже всего описывается рациональными дробями: для любого числа с > √5 справедливо неравенство |Ф — p/q| > 1/(с·q2), за исключением некоторых дробей p/q, при этом их число всегда будет конечным.
Донья Роса — Мартин Марко, Форд — Дирихле и Гурвиц
Вряд ли в романе «Улей» найдется два персонажа, которые бы внешне отличались больше, чем донья Роса и Мартин Марко. Она — полная, прожорливая, алчная и мизантропичная, он — худой, голодный, бездомный и приветливый. Эти два персонажа сталкиваются, когда донья Роса приказывает официанту вышвырнуть Мартина Марко из ее кафе за то, что тот не заплатил по счету. Хозяйка кафе указывает официанту, как нужно поступить: «На улицу выставить поаккуратней, а там — пару добрых пинков куда придется. Хорошенькое дело!» Тем не менее официант не стал наказывать Мартина Марко, поэтому ему ничего не оставалось, кроме как соврать донье Росе:
«— Всыпал ему?
— Да, сеньорита.
— Сколько?
— Два.
Хозяйка щурит глазки за стеклами пенсне, вынимает руки из карманов и гладит себя по лицу, где из-под слоя пудры пробиваются щетинки бороды.
— Куда дал?
— Куда пришлось, по ногам.
— Правильно. Чтоб запомнил. Теперь ему в другой раз не захочется воровать деньги у честных людей».
Столь же непохожими, как донья Роса и Мартин Марко, кажутся окружности Форда и рациональные приближения иррациональных чисел, описываемые теоремами Дирихле и Гурвица. Окружности Форда точны, элегантны и гармоничны, дроби Дирихле и Гурвица — шокирующие, полные секретов. Кажется, что эти понятия отражают два очень далеких друг от друга аспекта математики.