Однако в хороших романах часто случается так, что два далеких друг от друга персонажа воплощают дополняющие друг друга противоположности, составляющие одну из граней человеческой природы. Так же часто два математических результата, на первый взгляд далекие друг от друга, оказываются выражениями одного и того же математического явления.
Таковы касательные окружности Форда и рациональные приближения иррациональных чисел: первое есть не более чем геометрическое представление второго, как если бы хитросплетения теоремы Гурвица выкристаллизовались в четком и прозрачном изображении — в окружностях Форда.
Если читатель посмотрит на иллюстрацию на странице 50, он увидит, что это не что иное, как наглядное представление теоремы Гурвица. В самом деле, изобразим иррациональное число на числовой оси и проведем через соответствующую ему точку прямую, перпендикулярную числовой оси, как показано на следующем рисунке. Всякий раз, когда эта прямая будет пересекать окружность Форда (допустим, окружность, соответствующую рациональному числу p/q), разница между а и p/q обязательно будет меньше, чем радиус окружности, то есть меньше, чем 1/(2·q2): |a — р/q| < 1/(2·q2).
Как мы уже показали, окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби р/q, образуют последовательность, которая неизбежно приближается к р/q и в итоге «кусает» ее (см. рис. на стр. 51). Таким образом, если прямая, проведенная через точку, обозначающую иррациональное число а, пересекает окружность Форда, соответствующую дроби р/q, то она пересечет и другую окружность, касающуюся этой и расположенную под ней (см. следующий рисунок), а также окружность, расположенную под этой, и так далее. Отсюда следует, что прямая, соответствующая иррациональному числу, пересечет бесконечное множество окружностей Форда. Таким образом, существует бесконечное множество дробей р/q, удовлетворяющих неравенству |а — p/q| < 1/(2·q2). Это необычное следствие особого расположения окружностей Форда лежит на полпути между теоремами Дирихле и Гурвица, так как полученная нами константа равна 1/2, а согласно теоремам Дирихле и Гурвица она равняется 1 и 1/√5.
С помощью окружностей Форда также можно получить оптимальное значение этой константы, описываемое теоремой Гурвица. В самом деле, на верхнем рисунке на стр. 50, помимо окружностей Форда, представлены и другие фигуры — криволинейные треугольники, заключенные между любыми тремя касательными окружностями. Эти треугольники также обладают очень важными свойствами. Так, первая координата всех трех вершин подобных треугольников является рациональным числом. Рассмотрим криволинейный треугольник, образованный касательными окружностями Форда, которые соответствуют дробям p/q, p2/q2 и р3/q3. Обозначим вершины этого треугольника через А, В и С. Пусть А1 — первая координата вершины А, В1 — первая координата вершины В, С1 — первая координата вершины С. Нетрудно видеть, что
Так как первые координаты вершин треугольника — рациональные числа, прямая, проведенная через точку, соответствующую иррациональному числу а на числовой прямой, пересечет не только бесконечное множество окружностей Форда, но и бесконечное число криволинейных треугольников. Если большая из трех окружностей, образующих криволинейный треугольник, расположена справа, то в зависимости от значений координат А и В1 (в зависимости от того, какая из них больше) эти треугольники будут иметь один из двух различных видов, как показано на рисунках.
Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник первого вида (при А1 < B1 см. рисунок выше), разность между а и p2/q2 будет строго меньше, чем 1/(√5·q22). Всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник второго вида (при A1 > B1 см. следующий рисунок), разность между а и р3/q3 будет строго меньше, чем 1/(√5·q23). В любом случае пересечения прямой, соответствующей иррациональному числу а, и сторон криволинейных треугольников определят бесконечное множество дробей p/q таких, что |а — р/q| < 1/(√5·q2). Иными словами, последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.