Хулита, или диофантово уравнение p2 + q2 + r2 = 3pqr
В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р2 + q2 + r2 = 3·р·q·r, — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».
Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как правило, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, которые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно и то же). Эти уравнения получили свое название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей»[7]. Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года. Предположительно, он жил в II–III веках.
Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них — «Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древнегреческом и еще четыре — в переводе на арабский.
Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака.
* * *
ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ
Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m2, q = (m + 1)2, то:
p·q + p + q = m2·(m + 1)2 + m2 + (m + 1)2 = m4 + 2·m3 + 4·m2 + 2·m + 1 = (m2 + m + 1)2.
В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p·q + p + q обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 72. Две остальные величины будут таковы: 4·n + 4 + n = 5·n + 4 и 9·n + 9 + n = 10·n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10·n + 9, и 5·n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k, определяемые уравнениями r2 = 10·n + 9 и k2 = 5·n + 4. Имеем
r2 — k2 = 10·n + 9–5·n — 4 = 5·n + 5,
что можно записать как (r + k)·(r — k) = 5·(n + 1). Таким образом, r + k = 5 и r — k = n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r = (n/2) + 3 и k = 2 — (n/2). Подставив значение r в уравнение r2 = 10·n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (n2/4) = 7·n = 0. Его решением будет n = 28.
* * *
Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p·q + p + q, p·n + p = n и q·n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р·q + q = 49 = 72, р·n + р + n = 289 = 172, q·n + q + n = 144 = 122 (см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m2 = 2·n2. Как вы уже знаете, Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали, то √2 было бы рациональным числом.