1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, 1597 и 2897.
Существует простой метод, позволяющий получить новые числа Маркова на основе уже известных. Нетрудно показать, что если p1, q1 и r1 удовлетворяют уравнению Маркова и мы запишем р2 = 3·q1·r1 — р1, q2 = 3·p1·r1 — q1, и r2 = 3·p1·q1 — r1, то тройка p2, q1 и r1 также будет удовлетворять уравнению Маркова. Это же будет справедливо для троек р1, р2 и r1, а также p1, q1, r2.
Марков доказал, что все целые положительные решения уравнения Маркова можно получить с помощью этого простого метода, приняв в качестве начальных значений p1 = 1, q1 = 1 и r1 = 1.
Живительно, что уравнение Маркова имеет великое множество решений. Но если его немного изменить, оно не будет иметь ни одного решения: к примеру, уравнение р2 + q2 + r2 = 2·р·q·r не имеет целых положительных решений. В действительности, как доказал Гурвиц, ни одно уравнение вида р2 + q2 + r2 = k·р·q·r не имеет целых положительных решений, за исключением случаев, когда k равно 3 (имеем уравнение Маркова), 1 или 0.
Решения уравнения Маркова р, q и r при р = 1 образуют первую связь с теоремой Гурвица о рациональном приближении. В самом деле, эти решения имеют вид р = 1, q = f2n-1 и r = f2n+1, где fk — соответствующее число Фибоначчи. Первыми двумя числами Фибоначчи являются f1 = 1 и f2 = 1, каждое последующее число Фибоначчи определяется как сумма двух предыдущих. Имеем: f3 = 1 + 1 = 2, f4 = 3, f5 = 5, f6 = 8, f7 = 13, f8 = 21, f9 = 34 и так далее. Числа Фибоначчи встречаются в природе столь же часто, что и золотое сечение, с которым они тесно связаны: если рассмотреть отношение двух последовательных чисел Фибоначчи, fn+1/fn, то полученные дроби 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8…, будут всё больше и больше приближаться к золотому числу. Приближение вновь будет описываться теоремой Гурвица:
Это соотношение устанавливает неразрывную связь между числами Маркова и рациональным приближением. Очевидно, что эта связь намного прочнее.
Как мы уже отмечали, из-за золотого сечения рациональное приближение, описываемое теоремой Гурвица, нельзя улучшить. Это справедливо для золотого числа Ф и всех иррациональных чисел, эквивалентных ему с точки зрения рационального приближения. Иными словами, речь идет об иррациональных числах вида (m·Ф + n)/(р·Ф + q), где m, n, р, q — произвольные целые числа, которые удовлетворяют условию m·q — n·р = ± 1.
Математик Андрей Андреевич Марков совершил важные открытия в теории чисел и теории вероятностей.
Оставим в стороне золотое сечение и все иррациональные числа, эквивалентные ему. Гурвиц доказал, что его теорема допускает более точную оценку, так как константу 1/√5 можно заменить другой, меньшей константой 1/√8: для произвольного иррационального числа а, за исключением золотого числа и эквивалентных ему, существует бесконечное множество дробей p/q таких, что
Это приближение нельзя улучшить: если принять а = √2, то его рациональное приближение не может быть точнее, чем допускает константа 1/√8, умноженная на число, обратное квадрату знаменателя.
Однако если мы оставим в стороне √2 и все эквивалентные ему, то сможем еще больше улучшить рациональное приближение, заменив константу 1/√8 другой, меньшей константой 5/√221. Для любого иррационального числа а, за исключением золотого числа, квадратного корня из 2 и эквивалентных им, существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что