В этих семи строчках поэт соединил три трехмерных объекта. Представьте себе хитросплетение сосновых иголок, над которыми ветер расправляет свой стяг; пенистые воды, освещаемые луной, или неуловимое дыхание пляшущих видений в тумане. К этой картине следует добавить вездесущие звезды, эти светящиеся точки, сложный узор которых в небе кажется почти двухмерным. В действительности эта неоднозначность — следствие фрактальной природы объектов. Наши скудные органы чувств неспособны оценить реальность в ее дробной размерности; реальность, которая, напротив, проявляется во всей полноте только тогда, когда ее рассекает отточенный скальпель размерности Хаусдорфа или пронзает острый взор Пабло Неруды.
* * *
Среди многочисленных примеров использования фракталов мы расскажем об одном, занимающем поистине особое место, в котором фракталы связаны с абстрактным экспрессионизмом Джексона Поллока.
Поллок был художником непростой судьбы, он злоупотреблял алкоголем и так далее — все в соответствии со стереотипом. Погиб в автомобильной катастрофе в 1956 году, когда ему было всего 44 года. Меценатом Поллока стала Пегги Гуггенхайм. «Современный художник, — как-то сказал Поллок, — не может изобразить эпоху самолетов, атомных бомб и радио в старом стиле Возрождения. Каждая эпоха имеет свою технику». Верный этой максиме, он в середине 1940-х основал новое направление в живописи — абстрактный экспрессионизм. Свои картины он рисовал на больших полотнах, используя созданную им технику разбрызгивания красок.
Джексон Поллок за работой в своей студии. Конец 1940-х.
В 1946 году он превратил в студию огромный амбар на Лонг-Айленде, а холсты разложил на полу. «Так я нахожусь ближе к тому, что рисую, — говорил художник, — я чувствую себя частью картины, поскольку могу ходить вокруг нее, работать со всех четырех сторон и в буквальном смысле находиться на картине. Поэтому я пытаюсь держаться в стороне от традиционных инструментов, то есть мольберта, палитры и кистей. Я предпочитаю палки, шпатели и краску, которая капает и разбрызгивается, и даже цемент, измельченное стекло и другие материалы». Один из критиков сказал: «Его картины — не искусство; они существуют сами по себе. Это не изображение чего-либо, а вещь в себе; это не изображение природы, но сама природа». И это в самом деле так, поскольку картины Поллока источают движение, графический ритм, жизненную силу и одновременно глубокую нежность.
Связь полотен Поллока и фракталов обнаружили австралийские ученые Ричард Тейлор, Адам Миколич и Дэвид Джонас. В 1999 году была опубликована их статья в журнале Nature, в которой указывалось, что картины Поллока имеют фрактальную структуру, которой подчиняются как ширина капель и подтеков, так и геометрия линий краски, пролитой на полотно. Ученым удалось измерить фрактальную размерность этих структур с помощью метода, описанного выше.
Расчеты показали, что размерность картин Поллока превысила 1, то есть его полотна начали становиться по-настоящему фрактальными, в середине 1940-х. Впоследствии их фрактальная размерность неизменно возрастала и в 1952 году достигла значений, близких к 1,7 для структур, образованных разбрызгиванием краски, и 1,9 — для хаотических структур, обусловленных перемещениями самого художника во время работы над картиной. Рост фрактальных размерностей был постоянным и проявлялся в работах Поллока с такой точностью, что их анализ позволил определить подлинность полотен и даже дату создания.
Разумеется, Поллок не контролировал фрактальную размерность своих полотен. Он наверняка даже не подозревал, что его картины имеют фрактальную природу. Они были воплощением чистой интуиции, чистого стиля. Методы работы Поллока хорошо известны, о них сняты документальные фильмы. Художник добавлял новые и новые линии, капли и подтеки краски. Работа над картиной могла длиться до нескольких месяцев. Поллок отверг множество картин, которыми не был доволен, и обрезал края других полотен, потому что чувствовал, что по краям изображение менее интенсивно, чем в центре. Фрактальные размерности, вычисленные австралийскими учеными и характерные для его полотен, есть не что иное, как мера стиля художника.
Вернемся к вопросам, заданным в начале главы. Сколь бы велика ни была гармония фрактала, наш воображаемый прохожий сочтет, что фракталы едва ли отражают человеческую природу.
Возможно, он скажет, что ковры Аполлония или кривая Коха, несомненно, красивы, а размерность Хаусдорфа — прекрасная мера их удивительной красоты. И наш воображаемый собеседник, конечно же, добавит: этот подсчет квадратиков и вычисление логарифмов очень похожи на рассуждения, типичные для некоторых увлеченных математиков, далеких от реальности. Но наш прохожий будет неправ: никто не может быть далек от окружающей реальности. Не может быть далеким от реальности и само понятие размерности Хаусдорфа: как мы уже объясняли, это понятие было введено человеком и также имеет эмоциональную составляющую. Хаусдорф — это ведь реальный человек из крови и плоти, со своими чувствами, иллюзиями, страстями, огорчениями и всем прочим, который в свое время плыл по реке жизни точно так же, как автор этой книги и ее читатели.