Прошло почти полвека, прежде чем Леонарду Эйлеру удалось найти сумму этого ряда. Идея, которую использовал Эйлер для сложения чисел, обратных квадратам натуральных, очень проста. Отправная точка его рассуждений такова: рассмотрим произведение вида (1 – 2z2)·(1 – 5z2)·(1 – 6z2), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
(1 – 2z2)·(1 – 5z2)·(1 – 6z2) = 1 - 13z2 + 52z4 - 60z6.
* * *
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)
Эйлер был одним из величайших математиков всех времен и, вне всяких сомнений, лучшим в XVIII веке. Он родился в 1707 году в Базеле, окончил местный университет, брал частные уроки у Иоганна Бернулли — одного из учеников Лейбница.
В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург, с 1731 по 1741 год был членом Петербургской академии наук, затем работал в Пруссии и был избран членом Берлинской академии наук. Несмотря на непростые отношения с прусским королем Фридрихом II, Эйлер прожил в Берлине 25 лет и в итоге возглавил академию наук. По словам Фридриха II, усилиями которого Берлин стал одним из культурных центров Европы, Эйлеру недоставало блеска, таланта и элегантности. Эйлер был простым человеком, лишенным качеств, необходимых для «салонной жизни», которую так любил король. В одном из писем к Вольтеру Фридрих II назвал Эйлера «огромным циклопом геометрии» — злая шутка о математике, который в 1738 году ослеп на один глаз. После Берлина Эйлер вновь вернулся в Санкт-Петербургскую академию наук и умер в Санкт-Петербурге в 1783 году.
О влиянии Эйлера на математику последующих эпох лучше всего скажет классическая фраза Лапласа: «Читайте, читайте Эйлера — он учитель всех нас!». Или процитируем Гаусса: «Изучение трудов Эйлера остается лучшей школой в различных областях математики и не может быть заменено ничем другим».
* * *
Нетрудно видеть, что число, которое умножается на z2 в полученном выражении, равно сумме чисел, на которые умножается z2 в левой части равенства. Также нетрудно показать, что это соотношение верно для любого числа сомножителей в этом произведении. Эйлер понял: все, что верно для конечных произведений и сумм, верно и для бесконечных. Иными словами, если мы запишем:
(1 - az2)·(1 - bz2)·(1 - cz2)·… = 1 - Az2 + Bz4 - Cz6 +…,
то A = а + Ь + с + …
Далее Эйлер ввел в игру функцию синуса. Синус и косинус — две основные тригонометрические функции. Они определяются очень просто. Изобразим угол х на координатной плоскости следующим образом: одной из сторон угла будет горизонтальная ось, вторая сторона угла будет иметь длину, равную 1. Синус определяется как длина проекции этой стороны угла на вертикальную ось, косинус — как длина проекции этой стороны на горизонтальную ось, что показано на следующем рисунке.
Эйлер последовательно рассмотрел два разложения функции синуса в ряд. Один из этих бесконечных рядов открыл сам Эйлер:
где знаменатели дробей — квадраты натуральных чисел, умноженные на квадрат числа 71. Второе разложение синуса в бесконечный ряд открыл Ньютон:
Здесь знаменатели представляют собой факториалы последовательных чисел. Напомним, что факториал произвольного числа n определяется как произведение всех чисел, меньших n: n·(n — 1)·(n — 2)· … ·3·2·1. Следовательно, знаменатели в представленной выше формуле равны факториалам показателя степени z плюс 1.
Иными словами, если показатель степени z равен 2, то знаменатель будет факториалом 3: 3·2·1 = 6; если показатель степени z равен 4, то знаменатель будет равен факториалу 5: 5·4·3·2·1 = 120, и так далее.
Так как оба этих ряда представляют собой разложение одной и той же функции синуса, они должны быть равны, в частности:
Согласно изложенному в предыдущем абзаце, получим:
или, что аналогично:
Таким образом, суммой чисел, обратных квадратам натуральных чисел, будет квадрат числа π, разделенный на 6.