Если мы вновь рассмотрим два разложения для функции синуса:
и примем во внимание, что в этом случае А = 1/6, B = 1/120 и, как мы уже вычислили, Р = π2/6, получим значение суммы чисел, обратных четвертым степеням натуральных чисел: 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + … = π4/90.
Нечто подобное можно выполнить для z6 и последующих степеней. Благодаря этому Эйлер вычислил суммы чисел, обратных четным степеням натуральных чисел, начиная от второй и заканчивая двадцать шестой. Несколько лет спустя Эйлер обнаружил общую формулу суммы чисел, обратных произвольной четной степени натуральных чисел. О сумме чисел, обратных нечетным степеням натуральных чисел, ничего не известно и поныне. Мы знаем лишь, что первые несколько подобных сумм являются иррациональными числами.
* * *
И вновь суммы Эйлера помогут нам понять, что Харди имел в виду, когда говорил о «глубине» математических идей. Эйлер связал математические понятия из разных областей. В методе Эйлера скрывается понятие бесконечности, принадлежащее, можно сказать, к метафизике. Этот метод относится и к арифметике, так как в его задаче рассматриваются натуральные числа — требуется сложить квадраты чисел, обратных им. При вычислении суммы на сцену выходит геометрия, так как значение суммы выражается с помощью квадрата числа π, описывающего геометрию окружности. Наконец, весь метод Эйлера вращается вокруг представления функции в виде бесконечной суммы и бесконечного произведения — эти методы относятся к математическому анализу. И все это богатство взаимосвязей между столь разными «стратами» проявилось в одной идее Эйлера, которая на первый взгляд кажется простой. Именно это имел в виду Харди, когда говорил о глубине идеи: он рассуждал о ее способности неизбежно и плодотворно самым блестящим образом связывать между собой разные математические «страты».
К общности и глубине Харди добавил еще три свойства, способные наделить математическую идею эстетической ценностью. Это не свойства идеи как таковые, а, скорее, характеристики, показывающие способность идеи вызвать определенную эстетическую реакцию. Харди назвал эти свойства неожиданностью, непреложностью и экономичностью. Он описал их так: «Доказательства необычны и удивительны по форме; используемые инструменты кажутся по-детски простыми по сравнению с далеко идущими результатами, но все заключения непреложно вытекают из теоремы».
Нетрудно видеть, что суммы Эйлера обладают всеми этими характеристиками.
С одной стороны, сама простота идеи Эйлера делает ее необычной, и этого достаточно, чтобы рассуждения ученого удивляли — как нечто столь простое может привести к таким глубоким результатам? Кроме того, читатель согласится с нами в том, что расчеты Эйлера имеют абсолютно неожиданный результат: мы не могли и представить, что суммы четных степеней натуральных чисел будут связаны с числом π. Именно об этом писал Харди, говоря о неожиданности математических идей.
В идеях Эйлера четко прослеживается непреложность выводов. Увидев простые и безупречные рассуждения Эйлера, число π2/6, которому равна сумма чисел, обратных квадратам натуральных, кажется абсолютно неоспоримым и неизбежным.
Наконец, отчетливо видна экономичность, с которой действовал Эйлер: всего в нескольких строках он смог решить задачу, с которой не справились Лейбниц, братья Бернулли и, возможно, сам Ньютон. Решение Эйлера, несомненно, прекрасный пример того, что философ Джордж Сантаяна в своей книге «Постижение красоты» назвал «выражением экономичности»: из нашей способности ценить экономичность вещей постепенно рождается эстетическое восприятие.
Три качества, о которых писал Харди, связаны с тем, что Сантаяна в «Постижении красоты» называл «изобретательностью», или с тем, что математик Джан-Карло Рота именовал «способностью идеи озарять» — в главе «Феноменология математической красоты» (The Phenomenology of Mathematical Beauty) своей книги «Непрерывные мысли» (Indiscrete Thoughts) Рота использует слово enlightenment («озарение»). С одной стороны, Сантаяна напрямую связывал гениальность с глубиной: «Гений обладает способностью проникать в глубины вещей, чтобы извлечь оттуда некое значимое обстоятельство или взаимосвязь, позволяющие увидеть рассматриваемый объект в новом, более ярком свете». С другой стороны, согласно Рота, «озаряющая» идея проливает свет на понятия, с которыми она связана, или помогает лучше проанализировать и определенные математические задачи. Именно этими качествами обладает идея, которую использовал Эйлер при вычислении суммы чисел, обратных четным степеням натуральных чисел.