С другой стороны, кантовское «волнение» — это чувство, которое мы испытываем, когда видим, каких результатов добился Эйлер, применив удивительные свойства бесконечно малых величин. Читая рассуждения Эйлера, мы неизменно чувствуем «потрясение, то есть быстро сменяющееся отталкивание и притяжение одного и того же объекта», точнее, главных героев его книги — бесконечно малых величин.
Рассуждения Эйлера известны тем, что не отличаются особой логической строгостью. Поэтому в XIX веке математики решили заменить бесконечно большие и бесконечно малые величины понятием предела. Математические выкладки Эйлера не слишком точны. Однако это лишь первое впечатление: сегодня нам известно, что анализ, в котором используются бесконечно малые, столь же строг, как и современные рассуждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми производятся стандартные арифметические операции. Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».
Математик Абрахам Робинсон (1918–1974), автор нестандартного анализа.
Не думаю, что Эйлеру не давала спать избыточная или недостаточная строгость его рассуждений. Самого Эйлера, как и Декарта, Ньютона и Лейбница, волновали открытия, а не доказательства. Это особенно ярко звучит в предисловии к «Введению в анализ бесконечно малых», где постоянно встречаются слова «вникнуть в суть», «решить», «изобрести», а вот «показать» или «доказать» не упоминаются вовсе.
«Введение в анализ бесконечно малых» построено так, что новые идеи предстают перед нами подобно тому, как перед глазами изумленных первооткрывателей эпохи Возрождения представали чудеса природы. Эта книга не имеет ничего общего со скучнейшими логическими рассуждениями, которыми изобилуют современные работы по математике. Чтение «Введения в анализ бесконечно малых» подобно исследованию неизвестных уголков Земли. Эта книга напоминает мне заметки Антонио Пигафетта о кругосветном путешествии Магеллана и рассказы Хуана Себастьяна Элькано, который возглавил экспедицию после смерти Магеллана. Эйлер не умалчивает о бесплодных, но наглядных попытках решить те или иные задачи, подобно тому, как Пигафетта повествует о тщетных попытках Магеллана найти путь из Атлантического океана в Тихий.
«Введение в анализ бесконечно малых» — это рассказ о первом путешествии в мир бесконечно малых величин. Эйлеру удалось вызвать у читателей то же головокружительное чувство, которое мы испытываем, читая о первом кругосветном путешествии. Это еще одна причина познакомиться с «Введением в анализ бесконечно малых» — возможно, эта книга лучше других поможет понять гениальность математического творчества и почувствовать математическую красоту.
Глава 5
История и красота
В конце введения к своей знаменитой «Истории искусства» Эрнст Гомбрих отстаивает такую точку зрения: историю искусства следует знать потому, что она помогает понять, почему художники действовали так, а не иначе, или стремились произвести определенный эффект. Знание истории искусства, пишет Гомбрих, позволяет нам улавливать тончайшие различия и ценить эстетику произведений искусства. Иными словами, должный культурный багаж помогает увидеть красоту того или иного жанра, а знание истории искусства — неотъемлемая часть этого багажа. Гомбриха можно назвать сторонником контекстуализма, в рамках которого считается, что произведение искусства следует рассматривать в контексте — историческом, социальном, религиозном, культурном и других, в отличие от изоляционизма, утверждающего, что произведение искусства должно быть самодостаточным. Чем больше знаний контекста требуется, чтобы оценить его, тем менее полным оно является, поэтому изоляционисты, следуя Клайву Беллу, отказывались изучать контекст произведений.
Рассмотрим аргумент контекстуалиста Гомбриха применительно к математике.
Прежде чем перейти к дискуссии о математике, совершим небольшой экскурс в мир изобразительных искусств. Попытаемся широкими мазками описать, как история искусства помогает оценить красоту скульптуры.