Архимед, каким его увидел художник Хосе де Рибера (1591–1652).
* * *
Эта аксиома порождена нашими интуитивными представлениями о конечном и ограниченном. Лучше других объяснить несовместимость бесконечного и этой аксиомы Евклида сумел Галилей в своих «Беседах» (1638). Так как каждое число порождает квадрат: 2 порождает 4, 3–9, 4 — 16 и так далее — а каждый квадрат, в свою очередь, порождается единственным числом, Галилей указал, что мы можем объединить в пары числа и соответствующие им квадраты, заключив, что чисел и квадратов будет одинаковое количество. Тем не менее очевидно, что квадратные числа — лишь часть множества чисел (так, 2, 3, 5, 7 — числа, но не квадраты), то есть чисел больше, чем квадратов, целое больше его части. Мы столкнулись с парадоксом: чисел одновременно столько же, сколько их квадратов, и одновременно больше, чем квадратов. Галилей сделал вывод: «понятия «больше», «меньше» и «равно» неприменимы к бесконечному».
Связь христианского Бога с бесконечностью помогла преодолеть древние страхи перед ужасным чудовищем, и бесконечность, как потенциальная, так и актуальная, в XVII веке окончательно расположилась в центре математики. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но они перевели это понятие в область богословия. Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую, актуальную бесконечность, такая трактовка часто встречается и в трудах философов XVII века. Не будем забывать, что некоторые из них были учеными, в том числе математиками. Подтверждение мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), т. е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», и также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».
Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?
Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».
И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.
Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор (1845–1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.
Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.