(19.40)
Это стандартные уравнения двух связанных квантовомеханических состояний. На этот раз давайте проанализируем их по-иному. Сделаем подстановки:
(19.41)
где θ1 и θ2— фазы по обе стороны контакта, а ρ1 и ρ2— плотности электронов в этих двух точках. Вспомним, что на практике ρ1 и ρ2 почти точно совпадают друг с другом и равны ρ0 — нормальной плотности электронов в сверхпроводящем материале. Если вы теперь подставите эти формулы для ψ1 и ψ2 в (19.40) и приравняете вещественные части вещественным, а мнимые — мнимым, то получится четверка уравнений (для краткости обозначено θ2-θ1=δ):
(19.42)
(19.43)
Первая пара уравнений говорит, что ρ1=-ρ2 «Но,— скажете вы,— они ведь обе должны быть равны нулю, раз ρ1 и ρ2 обе постоянны и равны ρ0». Не совсем. Эти уравнения описывают не все. Они говорят, какими были бы ρ1 и ρ2, если бы не было добавочных электрических сил за счет того, что нет баланса между электронной жидкостью и фоном положительных ионов. Они сообщают, как начали бы меняться плотности, и поэтому описывают тот ток, который начал бы течь. Этот ток, текущий от стороны 1 к стороне 2, был бы как раз равен ρ1 (или -ρ2), или
(19.44)
Такой ток вскоре зарядил бы сторону 2, если можно было бы забыть, что обе стороны соединены проводами с батареей. Однако он не зарядит область 2 (и не разрядит область 1), потому что возникнут токи, которые выровняют потенциал. В наши уравнения эти токи от батареи не входят. Если бы их добавить, то ρ1 и ρ2 оставались бы фактически постоянными, а ток через переход определялся бы формулой (19.44).
Поскольку ρ1 и ρ2 действительно остаются постоянными и равными ρ0, давайте положим 2Kρ0/ℏ=J0 и напишем
(19.45)
Тогда J0, подобно К, есть число, характеризующее данный переход.
Другая пара уравнений (19.43) дает нам θ1 и θ2. Нас интересует разность δ=θ2-θ1, которую мы хотим подставить в (19.45); из уравнений же мы имеем
(19.46)
Это значит, что можно написать
(19.47)
где δ0 — значение δ при t=0. Не забывайте также, что q — это заряд пары, q=2qe. В уравнениях (19.45) и (19.47) содержится важный результат — общая теория переходов Джозефсона.
Так что же из них следует? Сначала приложим постоянное напряжение. Если приложить постоянное напряжение V0, то аргумент синуса примет вид δ0+(q/ℏ)V0t. Поскольку ℏ/q—число маленькое (по сравнению с обычными напряжениями и временами), то синус будет колебаться довольно быстро и в итоге никакой ток не пойдет. (Практически, поскольку температура не равна нулю, небольшой ток все же будет из-за проводимости «нормальных» электронов.) С другой стороны, если напряжение на переходе равно нулю, то ток может пойти! Если нет напряжения, то ток может равняться любой величине между +J0 и -J0 (в зависимости от того, каково значение δ0). Но попробуйте приложить напряжение — и ток обратится в нуль. Это странное поведение недавно наблюдалось экспериментально[101].
Ток можно получить и другим способом: кроме постоянного напряжения — приложить еще и высокую частоту. Пусть
где v≪V. Тогда
Но при малых Δx
Разложив по этому правилу sinδ, я получу
Первый член в среднем дает нуль, но второй в нуль не обращается, если
Значит, если частота переменного напряжения равна (q/ℏ)V0, то через контакт пойдет ток. Шапиро[102] сообщил, что он наблюдал такой резонансный эффект.
Если вы просмотрите работы на эту тему, то заметите, что в них формула для тока часто записывается в виде