Программа вступительного экзамена в эту школу устанавливается во Франции военным министром без участия его коллеги из ведомства народного просвещения; однако эта программа определяет наиболее высокий уровень среднего научного образования (по классу специальной математики) и таким образом оказывает влияние на уровень курса Нормальной школы и физико-математических факультетов. С другой стороны, Политехническая школа — рассадник ученых специалистов в общенациональном масштабе — по численности и средней подготовке своих учащихся, в отношении математических наук и физики, стояла в 1850 году значительно выше всех других учебных заведений. Выло бы поэтому в высшей степени важно, чтобы ложные взгляды Леверрье не одержали столь полной победы.
Нужно сказать правду, взгляды Леверрье встретили в совете школы горячую и упорную оппозицию, история которой не будет опубликована[246], но которая восторжествовала в 1863 году, несмотря на противодействие правительства, удалившего из школы ее лучших профессоров и экзаменаторов (Шаля, Луивиля, Каталана).
Тем не менее вред, причиненный реформой, оказался очень серьезен. Если вспомнить, что вообще Вторая империя мало заботилась об обеспечении научного преподавания необходимыми материальными средствами и предоставляла провинциальным университетам прозябать, занимаясь подготовкой незначительного числа лицензиатов без видов на будущее, то отнюдь не удивительно, что за этот период Франция потеряла в научной области свое недавнее первенство, и до того оспаривавшееся у нее весьма энергично.
Математические науки. Впрочем, как мы увидим сейчас, этот относительный упадок Франции нисколько не коснулся области химии или естественных наук. Скорее французы восстановили в этой сфере утраченную было репутацию. Франция окончательно потеряла господство над умственным движением главным образом в физике и в несколько меньшей степени — в математике. Если судить только но числу ученых знаменитостей, то эта перемена положения покажется мало заметной. Академия наук все еще блещет славными именами, и, например, математики, вступившие в нее с 1847 по 1870 год[247], прославились трудами, нисколько не уступающими трудам их старших собратий. Но продуктивность математических изучений, необычайно повысилась во всех странах; число деятелей и ученых работ в этой области непрерывно возрастает, и благодаря специальным журналам только что добытые результаты немедленно становятся достоянием гласности. Поэтому всякий математик вынужден быть в курсе всего, что делается в его области[248], но как раз это и служит ему на пользу: он имеет возможность положить теперь и свой камень в здание, начатое другим. При таких условиях уже не может существовать ни резко разграниченных школ, ни единого умственного центра; одиноко выдвигаются сильные индивидуальности, и естественное сродство умов проявляется независимо от национальности.
При такой разбросанности математических работ задача историка становится до чрезвычайности затруднительной; невозможно учесть точные размеры заслуг каждого лица, невозможно входить в бесчисленное множество деталей. В нижеследующих строках мы попытаемся лишь вкратце отметить некоторые решительные успехи и указать некоторые новые пути, открывшиеся исследователям.
Геометрия. В 1864 году Мишель Шаль приступил к обнародованию ряда бесчисленных применений своего метода характеристик, «могущего выдержать сравнение с любым открытием нашего века»[249], и своего принципа взаимности или двойственности, получившего затем развитие в трудах многих геометров.
В 1854 и 1860 годах Христиан фон Штаудт издал важные дополнения к своей Геометрии положения, которую он хотел сделать независимой от всякой меры величины. Он сводит значение числа в геометрии к чистому определению точки и, исходя из этого строя понятий, дает полное изображение мнимых в проективной геометрии.
В 1864 году Графическая статика Карла Кульмана, профессора цюрихской политехнической школы, кладет начало приложению современной геометрии к изысканиям, некогда составлявшим сферу аналитических вычислений, и по важности задач, ею затрагиваемых, представляет собой такой же шаг вперед, какой сделал Монж, создавший начертательную геометрию[250]. Эта последняя отрасль, развивавшаяся во Франции с момента своего возникновения и преимущественно направившаяся (именно благодаря Ла Гурнери, 1814–1883) на изучение поверхностей и их кривизны, в свою очередь обновилась за пределами Франции с введением методов проективной геометрии.
Итальянец Луиджи Кремона (родился в Павии в 1830 году, профессор в Болонье, затем в Милане, наконец в Риме с 1873 года) создает теорию афинности алгебраических кривых в своем Introduzione ad una teoria geometrica delle curve plane (1863), начала которой он затем распространил на три измерения (Preliminarii di una teoria geometrica delle superficie).
Георг-Фридрих-Бернгард Риман (1826–1866), сменивший в 1869 году Лежёна-Дирикле в Гёттингене, в одном из своих первых мемуаров, составленном в 1854 году по просьбе Гаусса, но оставшемся неизданным до 1867 года {О гипотезах, служащих основанием геометрии), значительно расширил область попыток неэвклидовой геометрии. Его идеи, отчасти популяризовавшиеся Гельмгольцем с 1868 года, нашли себе подтверждение в классическом мемуаре Бельтрами Очерк истолкования неэвклидовой геометрии (Saggio di interpreta-zione della geometria non-euclidea). Понятие положительной, нулевой или отрицательной кривизны пространства в п измерений и вывод о возможности (теоретической) геометрии (сферической или римановской) трех измерений, в которой все прямые плоскости взаимно пересекаются и где расстояние между двумя точками подчинено определенному максимуму, не могло не вызвать живейшего изумления. Но Феликсу Клейну предстояло в скором времени произвести еще более парадоксальные исследования.
В области аналитической геометрии мы на первом плане видим Гессе[251], который, став профессором в Гейдельберге (1865), опубликовал здесь в 1861 году свои Чтения (Vorlesungen), где он трактует о геометрии трех измерений и в частности о поверхностях второго порядка; около того же времени он развил свою систему соответствия между каждой точкой плоскости и парой точек на прямой. Затем Плюкер, вернувшись к чистой математике, построил Новую геометрию пространства, основанную на рассмотрении прямой линии пак элемента пространства (заглавие его посмертного труда, изданного в 1868 году), или, другими словами, на понятиях, введенных им, построил комплексы и конгруенты прямой.
Клебш (1833–1872), уроженец Кенигсберга, профессор политехникума в Цюрихе с 1858, в Гиссене с 1863, в Геттингене с 1868 года и автор Чтений по геометрии (Vorlesungen Geometrie), сделавшихся классическими, особенно прославился употреблением абелевских функций в общей теории кривых и поверхностей, а также исследованиями об изображении одной поверхности на другой. Он же ввел новое фундаментальное начало, именно расследование рода в классификации алгебраических кривых.
Алгебра и анализ. Первым трудом, на котором сказалось влияние идей Грассмана, была книга О комплексных числах Германа Ганкеля (1839–1873), вышедшая в 1867 году, но, несмотря на свои достоинства, встретившая менее радушный прием, чем замечательная посмертная работа (1874) того же автора по истории математики в древности и в средние века.
В 1864 году американский математик Бенджамин Пирс (1809–1880) приступил к изложению своих взглядов на линейную ассоциативную алгебру (обнимающую до 162 различных алгебраических систем). В 1858 году Кэйли обобщил понятие матриц, предложенное Гамильтоном и впоследствии более широко развитое Сильвестером и др.
Артур Кэйли, родившийся в Ричмонде в 1821 году, и Джемс-Джозеф Сильвестер, родившийся в Лондоне в 1814 году (и долгое время бывший профессором в Балтиморе), являются знаменитейшими английскими математиками XIX века, оставившими след во всех разветвлениях этой науки. Достаточно вспомнить их блестящие открытия (1849–1851) относительно прямых линий поверхностей третьего порядка, а равно и сделанное Кэйли приложение плюкеровских уравнений к исследованию в алгебраических кривых сложных сингулярностей (каждая из которых, как он показал, равна известному числу четырех простых сингулярностей). Но Кэйли и Сильвестер — прежде всего алгебраисты, и главная их заслуга заключается в том, что они обосновали новую отрасль науки, теорию инвариантов[252]. Кэйли следует считать настоящим творцом ее; он создал ее своими первыми мемуарами, печатавшимися в Кембриджском, математическом журнале (Cambridge Mathematical Journal) с 1845 года. Однако этот вопрос существовал уже в зародыше в работах Лагранжа и Гаусса, равно как и в новейших исследованиях Джорджа Буля (1815–1864), одного из своеобразнейших авторов, в частности известного своими исследованиями по символике обозначений и именно приложением ее к логике. Сильвестеру зато принадлежит, пожалуй, честь дальнейшей систематизации новой теории, и именно ему математика обязана большинством технических терминов, включая и самое слово инвариант.
246
В протоколах заседаний ораторы обозначаются буквами А, В, С. Невозможно поэтому следить за поворотом, совершившимся во мнениях некоторых ученых, вроде Понселе, первоначально увлекавшихся доводами Леверрье. Генерал Морен, директор Консерватории искусств и ремесел, один остался ему верен до конца.
247
В 1851 — Мишель Шаль; в 1855 — Делона (1816–1672); в 1856 — Эрмит я Жозеф Бертран (род. г 1822 г); в 1860—Серре (1819–1885); в 1862 — Оссиан Бонне (1819–1885); в 1868 —Барре де Сен-Венан (1797–1886).
248
Теперь уже невозможны факты вроде следующих: Штейнер обнародовал результаты, добытые за пять лет до него Кэйли и Сильвестером, или Шаль трактовал тему, уже исчерпанную Штейпером.
249
В системе конических сечений, ограниченных только четырьмя условиями, Шаль называет характеристиками число х конических сечений, проходящих через точку, и число v конических сечений, касающихся прямой. С известными ограничениями число конических сечений, удовлетворяющих пятому условию, в общем будет — f- pv, где а — суть целые параметры, зависящие только от пятого условия.
250
Во Франции Графическая статика Мориса Леви (1874) признана капитальнейшим трудом по этому предмету.
252
Теория детерминантов, по началу восходящая к Коши, уже стала вводиться в курс средней школы. Действительно, к этому периоду относятся классические труды Споттисвуда (1851), Бриоши (1854), Бальцера (1857).