Бодхайяна точно изложил теорему Пифагора: «Веревка (шульба), натянутая по диагонали квадрата, образует фигуру вдвое большей площади, чем исходный квадрат». Катьяяна приводит более общий случай: «Веревка [натянутая вдоль диагонали и по длине равная] диагонали прямоугольника образует фигуру той же площади, что и образованная горизонтальной и вертикальной сторонами».
Теорема Пифагора в изложении Водхайяны. Площадь квадрата, построенного на диагонали, вдвое больше площади исходного квадрата.
Теорема Пифагора в изложении Катьяяны.
Эти знания позволяли строить ведические алтари с исключительной точностью. В качестве примера можно привести так называемый алтарь смасана, на котором богам подносился одурманивающий напиток сома. Чтобы жертвоприношения возымели нужный эффект, размеры основания алтаря должны были точно соблюдаться.
В шульба-сутре Апастамбы приводились точные указания по постройке этого алтаря. Джордж Гевергезе Джозеф изложил эти указания в современной нотации так:
Используя веревку, отметьте ХY длиной ровно 36 пад.
Отметьте на этой линии точки Р, Q и R такие, что ХР, XR и XQ равны 5, 28 и 35 пад соответственно.
Проведите перпендикуляры в точках X и Y.
Зная, что треугольники АРХ, DPX, BRY и CRY прямоугольные, а их стороны выражены целыми числами, определите положение точек А, В, С и D. Иными словами, длина AXD должна составлять 24 пады, длина ВYС — 30 пад. Если построение верно, отрезки АС и BD должны пересекать ХY в одной точке О.
АХ = XD = 12 пад
BY = YC = 15 пад
ХР = 5 пад
PR = 23 пады
RQ = 7 пад
QY = 1 пада
ХY = 36 пад
Размеры алтаря смасана
(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)
Получим следующие пифагоровы тройки:
ΔАРХ и ΔDPX имеют стороны 5, 12, 13.
ΔАОХ и ΔDOX имеют стороны 12, 16, 20.
ΔAQX и ΔDQX имеют стороны 12, 35, 37.
ΔBRY и ΔCRY имеют стороны 8, 15, 17.
ΔBOY и ΔCOY имеют стороны 15, 20, 25.
ΔВХУ и ΔСХУ имеют стороны 15, 36, 39.
Так как стороны этих треугольников выражены целыми числами, их можно было отмерить с удивительной точностью. Если этого было недостаточно, сама конструкция содержала множество дополнительных пифагоровых троек, которые помогали еще больше повысить точность. Так пифагоровы тройки оказались на службе технологий. Это удивительно и красиво. Конечно, было известно множество других троек, которые также использовались при сооружении разных алтарей.
Поэтому очевидно, что ведической цивилизации была прекрасно известна теорема Пифагора. Она обычно использовалась в задачах вида «объединить два равных или неравных квадрата и получить третий квадрат». С ее помощью можно было построить алтарь, по площади равный двум другим. Решение задачи такого типа приведено в шульба-сутрах. В современной нотации оно выглядит так:
Пусть нужно объединить два квадрата — ABCD и PQRS.
Пусть DX = SR.
Следовательно, площадь квадрата со стороной АХ будет равна сумме площадей квадратов ABCD и PQRS.
На рисунке ясно видно построение, описанное в тексте. В нем явно используется теорема Пифагора: AD2 + SR2 = АХ2
(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)
Вне всяких сомнений, еще в незапамятные времена люди чувствовали красоту арифметики и геометрии. С самого начала им стало понятно, что все фигуры делятся на криволинейные и прямолинейные. Прямоугольные треугольники быстро заняли привилегированное место среди прочих фигур. Два прямоугольных треугольника можно получить, если разделить прямоугольник пополам его диагональю. Привилегированное место в арифметике заняли натуральные числа, которые использовались при счете. В какой-то момент стало понятно, что можно строить прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами. Открытие равенства суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы было особенным.