Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе — две, третье — три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (213 — 1)· 212 = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр.
Древние также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно (217 — 1)·216 = 131 071·65 536 = 8 589 869 056 и заканчивается на 6.
Но не все предположения древних оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут четными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер привел первое доказательство того, что подобным образом можно получить все четные совершенные числа. Следовательно, было доказано, что все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. Было лишь доказано, что если и существует нечетное совершенное число, то оно должно быть больше 10300. Однако это не доказывает, что нечетных совершенных чисел не существует, ведь что значат несколько триллионов по сравнению с необозримым бесконечным рядом натуральных чисел?
Портрет Леонарда Эйлера кисти Эмануэля Хандманна. Этот математик XVIII века совершил важные открытия, касающиеся совершенных и простых чисел.
Также была выдвинута гипотеза, что совершенных чисел бесконечно много, но пока это не удалось доказать. Постоянно объявляют о том, что открыто новое простое число Мерсенна. Каждому такому числу соответствует совершенное число. В настоящее время сотни добровольцев участвуют в проекте GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), цель которого — поиск простых чисел Мерсенна. Участники проекта загружают на свои компьютеры программу, написанную Джорджем Вольтманом.
Результат коллективных усилий был объявлен 23 августа 2008 года — было найдено самое большое на тот момент простое число Мерсенна, 243112609 — 1. Ему соответствует самое большое из известных совершенных чисел, 243112608·(243112609 — 1), содержащее 25956376 цифр! 12 июня 2009 года было найдено еще одно простое число Мерсенна, на этот раз несколько меньшее: 242643801 — 1. Ему соответствовало сорок шестое совершенное число, равное 242643800·(242643801 — 1), состоящее из 25674128 цифр! И хотя они встречаются все реже, и каждое следующее намного больше предыдущего, никто не знает, действительно ли их на самом деле бесконечное множество. Участники проекта GIMPS продолжают поиски.
* * *
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ
В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида 
являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n = 0 получим F0 = 3 — простое число. Для n = 1 получим F1 = 5 — тоже простое число. F2 = 17, F3 = 257 и F4 = 65 537 — все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F5 = 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F6 = 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F7 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители — задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.
Например, с помощью циркуля и линейки в окружность можно вписать треугольник (3 стороны), квадрат (4 = 22 стороны), пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 = 2·3 сторон), восьмиугольник (8 = 23 сторон) и десятиугольник (10 = 2·5 сторон), но не семиугольник (7 не является простым числом Ферма) и не девятиугольник (9 = З2 равно произведению равных простых чисел Ферма). Хотя для этих случаев существуют приближенные построения, точное построение невозможно.