С другой стороны, решенная задача имеет чисто арифметический смысл. Если бы задача имела геометрический смысл, то сложение числа, возведенного в квадрат, с другим числом было бы равносильно сложению площади и длины — величин разных порядков. Теорема Пифагора — совершенно иной случай: она гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть площадь двух квадратов, построенных на катетах, равна площади большого квадрата, построенного на гипотенузе. В этом равенстве все величины имеют один порядок. В теореме Ферма все степени также имеют одинаковые показатели: хn + уn = zn. При n = 3 можно представить, что мы складываем объемы кубов и получаем объем третьего, большего куба. Для больших степеней речь будет идти уже о многомерных фигурах в многомерных пространствах.
Параллельные рассуждения
Эта задача также характеризуется тем, что ее решение нетривиально. Его сложно найти случайно. Подобным свойством обладают и многие другие задачи из «Арифметики». Кроме этого, Диофант довольствовался одним частным решением и не стремился решить задачу в общем виде, чтобы найти все возможные решения. Несмотря на это, его результаты открывают возможность провести параллельные рассуждения, с помощью которых можно найти новые решения, не упоминаемые в книге.
Например, если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 4х — 5, то получим другое, полностью корректное решение:
(4х + 3)2 + х = (4х — 5)2 —>
16х2 + 24х + 9 + х = 16х2 — 40х + 25 —>
24х + 9 + х = — 40х + 25 —>
24х + х + 40х = 25 — 9 —>
65х = 16 —>
х = 16/65.
Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.
Если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 5х — 3, то получим еще одно корректное решение:
(4х + З)2 + х = (5х — 3)2 —>
16х2 + 24х + 9 + х = 25х2 — 30х + 9.
Сократив девятки в обеих частях равенства, получим:
16х2 + 24х + х = 25х2 — 30х.
Поделив обе части на х, имеем:
16х + 24 + 1 = 25х 30 —>
24 + 1 + 30 = 25х — 16х —>
55 = 9х —>
х = 55/9.
Мы получили еще одно решение: 55/9, 119/9, 247/9. Теперь нам открываются новые задачи. Например, существуют ли целые решения, которые удовлетворяют этим условиям?
Задача 29 из книги IV
Еще одна, также очень известная задача из «Арифметики» — это задача 29 из книги IV. Она звучит так:
«Найти четыре квадрата, сумма которых, увеличенная на сумму их сторон, будет равна данному числу».
И снова мы видим всю гениальность Диофанта:
«Пусть дано число 12. х2 + х + 1/4 — квадрат. Следовательно, сумма четырех квадратов + сумма их сторон + 1 = сумма других четырех квадратов = 13. Следовательно, нужно разделить 13 на четыре квадрата, и, если мы вычтем 1/2 из всех его сторон, получим стороны искомых квадратов.
Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».
Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:
«Найти x1, х2, х3, х4 такие, что
х12 + х22 + х32 + х42 + х1 + х2 + х3 + х4 = n,
где n — данное число».
Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим