С одной стороны, Ферма предлагал новые задачи теории чисел Блезу Паскалю, Жилю Робервалю, Джону Валлису, Уильяму Броункеру, Бернару Френиклю де Бесси и многим другим. Среди этих задач были следующие: найти все целые решения уравнения Nx2 + 1 = у2, где N не является квадратом; доказать, что уравнение х2 + 2 = у3 имеет только одно решение на множестве натуральных чисел; доказать, что
Уильям Броункер был одним из многих математиков, с кем переписывался Ферма.
С другой стороны, Ферма попросил Паскаля и де Каркави, чтобы они помогли ему найти издателя для его книги «Использование корней второй и высших степеней в анализе». С этой целью 9 августа 1654 года он пишет де Каркави: «Если это не оскорбит вас, не могли бы вы (здесь имеются в виду де Каркави и Паскаль. — Примеч. автора) сделать возможной печать (имеется в виду печать его книги. — Примеч. автора), для чего я не возражаю, чтобы вы вносили любые изменения, прояснив некоторые понятия, которые, по вашему мнению, изложены слишком кратко, избавив меня таким образом от этой тягостной задачи, завершить которую мне мешают другие дела. Мне бы хотелось, чтобы в работе не упоминалось мое имя, и я даю вам право приписать авторство этого труда тому, кого вы считаете вашим другом». Де Каркави, в свою очередь, обратился к Гюйгенсу. Но никому из них так и не удалось опубликовать эту книгу Ферма. Шло время, и работам Ферма стало угрожать забвение.
* * *
СЛУЧАЙ ДЛЯ 4К + 1
Примером неполных объяснений, которые встречаются в Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, являются способы доказать, что любое простое число вида 4k + 1 можно представить как сумму двух квадратов. Нужно начать с предположения, что существует простое число вида 4k + 1, которое нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Тогда можно убедиться, что существует простое число, меньшее данного, которое также нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это ведет к противоречию, так как путем подобных рассуждений мы придем к числу 5 — наименьшему из простых чисел подобного вида, но его можно представить как сумму двух квадратов: 5 = 22 + 12. Следовательно, исходное утверждение доказано. Но Ферма не объясняет, как совершить переход от большего простого числа к меньшему. Лишь через несколько десятилетий Эйлер восстановил действия, пропущенные в доказательстве Ферма. Это еще один пример того, как Ферма нашел доказательство, но не потрудился записать его.
* * *
Он понимал это и решил исправить ситуацию наилучшим известным ему способом: продолжал писать письма. Он не хотел публиковать книги под своим именем. Ему было важно лишь то, чтобы они увидели свет и тем самым способствовали развитию науки. В 1659 году он просит де Каркави, чтобы тот отправил Гюйгенсу его труд «Рассказ о новых открытиях в науке о числах» (Relation des nouvelles dücouvertes en la science des nombres). В нем Ферма подробнее, чем обычно, объяснял многие свои методы, но все же не столь подробно, как этого хотелось бы его коллегам.
Ферма умер, так и не найдя издателя, который бы опубликовал его работы. Хотя некоторые из них стали частично известны из его писем, а также публикаций его современников, можно утверждать, что большинство его трудов было бы утеряно навсегда, если бы не сын Ферма, Самуэль, который разделял увлечение отца математикой. В 1670 году Самуэль Ферма опубликовал «Арифметику» Диофанта в переводе Баше с комментариями отца.
Методы, предложенные Ферма, не переставали удивлять его современников. Он внес вклад в создание бесчисленного множества новых теорий, которые зародились именно в ту плодотворную эпоху. Для нахождения максимума и минимума он использовал выражение, подобное производной, и приравнивал его к нулю. Он применил алгебраические методы для решения геометрических задач до Декарта, что позволяет считать его отцом аналитической геометрии. Он занимался решением задач из теории вероятностей и комбинаторики, что дает возможность назвать его, наряду с Паскалем, создателем этих разделов математики. Кроме того, Ферма считается основателем современной теории чисел, в которую он внес огромный вклад и где его ум сверкал по-настоящему. Он также занимался оптикой и механикой. Подобно царю Мидасу, который превращал в золото все, к чему прикасался, Ферма добивался заметных результатов во всех темах, над которыми работал. И всего этого он достиг, работая адвокатом! Если бы он сформулировал уравнение справедливости, то смог бы найти и его решение.