х + yi = (а + bi)2 = а2 + 2аbi + (bi)2 = а2 — Ь2 + 2аbi.
Приравняв вещественные и мнимые части по отдельности, получим:
х = а2 — Ь2,
у = 2аЬ.
Эта формула упоминается уже в «Началах» Евклида и служит для нахождения пифагоровых троек. Ламе в своем доказательстве использовал аналогичные рассуждения. Уравнение Ферма хр + ур = zp с помощью комплексных чисел преобразуется в произведение. В этом случае множители должны содержать корни р-й степени из единицы. На множестве комплексных чисел аналогично тому, как 1 имеет два квадратных корня, +1 и —1, существует также р корней р-й степени, которые обозначаются 1, ζ, ζ2, ζ3, …, ζр-1. Используя эти корни, мы можем записать следующее:
хр + уp = (x + у)(x + ζу)(х + ζ2у)(х + ζ3у)…(х + ζр-1y) = zр.
Следовательно, первый шаг, на котором сумма преобразуется в произведение, выполним.
На следующем шаге мы рассмотрим числа вида
а0 + а1ζ + ζ2а2 + ζ3а3 + … + ζp-1ар-1
Говорят, что эти числа принадлежат круговому полю. Их можно легко складывать, вычитать и перемножать. Также можно говорить о делимости и простых числах. Казалось, что рассуждения совершенно корректны.
Ламе привел для этого случая те же рассуждения, что и для гауссовых чисел, и, таким образом, доказал теорему! Блестящий математик Жозеф Лиувилль, который внимательно слушал выступление Ламе, попросил слова и задал вопрос. Доказано ли, что разложение на множители на круговом поле единственно? Если это не так, то доказательство оказывается ошибочным. Ламе признал, что это не доказано, но был уверен, что сможет быстро заполнить пробелы в своем доказательстве. Тем не менее сделать это так и не удалось.
Идеальные решения
Несколько месяцев спустя немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер пишет письмо Лиувиллю. В нем он объясняет, что, к несчастью для Ламе, единственность разложения на множители на круговом поле в общем случае не подтверждается. Например, оно не выполняется для р = 23. Однако Куммер продолжал: «Теорему возможно доказать, введя новый тип комплексных чисел, которые я назвал идеальными комплексными числами». Идеальные числа, представленные Куммером, позволили обеспечить единственность разложения на множители и продолжить поиски доказательства.
Чтобы проиллюстрировать мысль Куммера, приведем два примера. Сначала рассмотрим следующее множество четных целых чисел:
2Z = {…, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10…}.
На этом множестве можно свободно выполнять операции сложения, вычитания и умножения. На нем число 10 нельзя разложить на произведение двух четных чисел, следовательно, оно является «простым». «Простыми» также будут являться 2 и 50. Напротив, 100 можно разложить на произведение «простых» множителей двумя разными способами:
100 = 10·10 = 2·50.
Следовательно, на множестве простых чисел единственность разложения на множители не выполняется. Чтобы обеспечить это свойство, можно ввести «идеальное» число, 5, которое не принадлежит множеству четных чисел. Используя это число, мы сможем разложить на множители 10 и 50, и они перестанут быть «простыми»:
100 = 10·10 = 5·2·5·2,
100 = 2·50 = 2·2·5·5.
Оба разложения совпадают.
Во втором примере, который предложил Рихард Дедекинд в 1870 году, рассматривается множество чисел следующего вида:
На этом множестве числа 2, 3, (1 + √(5i)), (1 — √(5i)) являются простыми. Число 6 не является простым, и его можно разложить на простые множители двумя различными способами:
6 = 2·3 = (1 + √(5i))(1 — √(5i)).
Следовательно, единственность разложения на множители на этом множестве не обеспечивается. Мы сможем это обеспечить, если введем идеальные числа √2,(1 + √(5i))/√2, (1 — √(5i))/√2:
И вновь оба разложения совпадают.
Куммер интенсивно изучал это новое круговое поле и дополнял его все новыми идеальными числами. Ему удалось доказать, что для частного случая простых чисел, так называемых регулярных простых чисел, выполняются все рассуждения доказательства, значит, и последняя теорема Ферма доказана. Далее он занялся изучением регулярных простых чисел и доказал, что существует всего три нерегулярных простых числа, меньших 100: это 37, 59 и 67. Он также рассмотрел и эти случаи, доказав таким образом теорему для всех показателей степени, меньших 100.