Опровергая этот ответ, я не стану опираться на уже в достаточной степени выясненный мною аргумент: если ум не может достигнуть минимума в своих идеях, то его способность [представления] должна была бы быть бесконечной, чтобы он мог охватить бесконечное число частей, из которых состояла бы его идея любого протяжения. Я постараюсь теперь найти новые нелепости в этом рассуждении.
Поверхность ограничивает тело, линия – поверхность, точка – линию; но я утверждаю, что, если бы идеи точки, линии или поверхности не были неделимы, мы вовсе не могли бы представить этих ограничений. Предположим, что эти идеи бесконечно делимы, и пусть затем воображение постарается остановиться на идее последней поверхности, линии или точки; оно тотчас заметит, что идея эта распадается на части; остановившись же на последней из этих частей, оно тотчас потеряет точки опоры в силу нового деления и т. д. in infinitum без малейшей возможности дойти до заключительной идеи. Все это количество делений так же мало приближает его к последнему делению, как и первая идея, им образованная. Каждая частица ускользает от схватывания благодаря новому делению, точно ртуть, которую мы пытаемся схватить. Но поскольку фактически должно существовать нечто ограничивающее идею каждого конечного количества и поскольку сама эта ограничивающая идея не может состоять из частей, или более подчиненных идей, иначе последняя из ее частей ограничивала бы собой данную идею и т. д., это и есть ясный довод в пользу того, что идеи поверхностей, линий и точек не допускают деления: идеи поверхностей – по отношению к глубине, идеи линий – по отношению к ширине и глубине, а идеи точек – по отношению ко всякому измерению.
Сила этого аргумента столь чувствовалась схоластиками, что некоторые из них утверждали, будто природа примешала к тем частицам материи, которые делимы до бесконечности, некоторое число математических точек с целью ограничения тел; другие же обходили силу этого рассуждения с помощью массы непонятных ухищрений и различений. И те и другие противники одинаково признают себя побежденными. Тот, кто прячется, столь же очевидно признает превосходство своего врага, как и тот, кто прямо сдает свое оружие.
Итак, определения математиков, по-видимому, подрывают мнимые доказательства; если у нас есть соответствующая этим определениям идея неделимых точек, линий и поверхностей, то и существование их, несомненно, возможно; если же у нас нет такой идеи, то мы вовсе не можем представить себе ограничение какой-либо фигуры, а без такого представления не может быть и геометрического доказательства.
Но я иду дальше и утверждаю, что ни одно из указанных доказательств недостаточно веско для того, чтобы установить такой принцип, каким является принцип бесконечной делимости, и это потому, что в применении к столь малым объектам доказательства эти оказываются, собственно, недоказательствами, будучи построены на неточных идеях и небезукоризненно истинных правилах. Когда геометрия решает что-либо относительно соотношений количества, мы не должны ожидать особой точности: ни одно из ее доказательств не достигает таковой; она берет измерения и соотношения фигур верно, но грубо и с некоторой вольностью. Ошибки ее никогда не бывают значительными, да она бы и вообще не ошибалась, если бы не стремилась к столь абсолютному совершенству.
Прежде всего я спрошу математиков, что они подразумевают, когда говорят, что одна линия или поверхность равна, больше или меньше другой? Пусть ответит на это любой из них независимо от того, к какой секте он принадлежит и придерживается ли он теории, согласно которой протяжение состоит из неделимых точек или же из количеств, делимых до бесконечности. Вопрос этот приведет в смущение сторонников той и другой теории.
Математиков, защищающих гипотезу неделимых точек, либо немного, либо совсем нет, а между тем они-то и могут дать самый легкий и верный ответ на указанный вопрос. Им нужно только ответить, что линии или поверхности равны, когда число точек в каждой из них равно, и что с изменением соотношения между числом точек изменяются и соотношения между линиями и поверхностями. Но, несмотря на точность, а равно и очевидность этого ответа, я все же могу утверждать, что такое мерило равенства совершенно бесполезно и что мы никогда не определяем взаимного равенства или неравенства объектов на основании подобного сравнения. Ввиду того что точки, входящие в состав любой линии или поверхности, независимо от того, воспринимаются ли они зрением или осязанием, так малы и так смешаны друг с другом, что ум совершенно не в состоянии сосчитать их число, подобное счисление никогда и не пригодится нам в качестве мерила суждения о соотношениях. Никто никогда не будет в состоянии определить с помощью точного подсчета, что в дюйме меньше точек, чем в футе, или что в футе их меньше, чем в эле или какой-нибудь большей единице меры; в силу этого мы редко и даже никогда не признаем этот подсчет мерилом равенства или неравенства.