Утверждение 8 содержит геометрические знания, касающиеся понятия «параллельные линии на плоскости». Привыкнув в школе иметь дело с геометрическими чертежами и наглядными рисунками, вы можете мне сказать, что математические знания такого рода наглядны, образны, что вы в состоянии их получить, рассматривая тот или иной чертеж. Однако я готов оспорить ваше утверждение. Действительно, подумайте сами, ведь ни одна классная доска, ни один лист ватмана, на котором содержится рисунок или чертеж, не являются в совершенно точном смысле слова плоскими, ибо на них имеются хотя бы малейшие неровности, которые можно заметить если не глазом, то через увеличительное стекло или микроскоп. Более того, ни одна карандашная точка на бумаге, пятнышко мела, которое мы считаем точкой, когда делаем рисунок на школьной доске, ни одна физическая молекула, атом или элементарная частица не являются в точном смысле слова математической (геометрической) точкой, ибо точка не имеет диаметра, длины, ширины, массы и других физических характеристик. А линия, проведенная карандашом, рейсфедером или мелом, также не является в строгом смысле математической линией, о которой, собственно, и идет речь в нашем утверждении. Наконец, когда мы говорим, что через точку, находящуюся вне данной прямой в той же самой плоскости, можно провести лишь одну линию, параллельную данной, мы, по существу, утверждаем, что две такие линии нигде и никогда не пересекутся. А между тем это утверждение нельзя обосновать или проверить с помощью наблюдений, так как мы не можем наблюдать бесконечно удаленные точки или даже достаточно длинные отрезки прямых, не говоря уже о том, что все известные и поддающиеся нашим наблюдениям тела ограничены в пространстве, а наш пример с параллельными линиями говорит о бесконечно протяженных плоскостях и прямых. Все известные нам наблюдения не только не подтверждают, но, наоборот, расходятся с утверждением 8, которое представляет собой не что иное, как знаменитый пятый «постулат о параллельных» геометрии Евклида. Эти размышления, следовательно, показывают, что математические знания не являются прямым результатом наблюдений и экспериментов и заставляют нас задуматься, как возникают такие знания, как они связаны с действительными наблюдениями и экспериментами, что позволяет нам применять их для решения практических, экспериментальных задач.
Ко второй группе мы можем отнести утверждение, подобное 7. В нем говорится о высоте Останкинской телевизионной башни. Может показаться, что это утверждение целиком построено на простейшем пассивном созерцании, наблюдении. Однако простое наблюдение не позволяет измерить высоту Останкинской башни. Чтобы сделать это, необходимо уметь измерять протяженные предметы. Необходимо знать правила измерения и вычисления измерительных ошибок. А всякие измерения связаны с математическими расчетами, со сложной совокупностью неэмпирических знаний. Стало быть, утверждения, подобные 7, хотя и кажутся чисто эмпирическими, не являются ими на самом деле.
К третьей группе можно отнести утверждение, аналогичное 4, в котором содержится знание о знаменитых опытах Майкла Фарадея: с их помощью он открыл связь между электричеством и магнетизмом. Теперь такие опыты можно увидеть в любой школьной лаборатории, но для своего времени они были, вершиной экспериментального мастерства. Знания, содержащиеся в этом утверждении, нельзя получить на основе пассивных наблюдений, ибо в природе такие явления в достаточно «чистом» виде просто не встречаются. Это дает дополнительную иллюстрацию того, почему так важны эксперименты особенно в научном познании. Но вернемся к нашей проблеме и посмотрим, можно ли такое знание считать чисто эмпирическим, то есть основанным на одном лишь чувственном созерцании.
В действительности вы можете во время опыта увидеть, как в полую катушку вдвигается железный сердечник, но вы не можете увидеть электрический ток не только во время школьных лабораторных занятий, но и ни при каких других условиях, так как он вообще не поддается чувственному восприятию. Разумеется, о прохождении тока по медному проводу, обмотанному вокруг катушки, вы можете судить по отклонению стрелки на шкале гальванометра. Однако для этого вам необходимо знать, что одно положение стрелки означает, что по проводнику идет ток, а другое— что электрический ток выключен. Кроме того, вы должны уметь пользоваться электрическими приборами и точно знать, что движение стрелки вызвано именно прохождением тока, а не какими-либо другими побочными, посторонними причинами. Следовательно, и знания, сформулированные в утверждении 4, не могут считаться чисто эмпирическими, поскольку для их выражения мало одних лишь чувственных восприятий и прямых наблюдений. Они предполагают наличие других дополнительных, вспомогательных знаний, полученных и проверенных до осуществления данного эксперимента.