О физической непрерывности и разрывности
7. Про какую-либо величину говорят как про изменяющуюся непрерывно, если при переходе от одного значения к другому она принимает все промежуточные значения.
К понятию непрерывности мы приходим при рассмотрении непрерывного существования частицы материи во времени и в пространстве. Такая частица не может перейти из одного положения в другое, не описав в пространстве непрерывную линию, и координаты её положения должны быть непрерывными функциями времени.
В так называемом «уравнении непрерывности» в том виде, как оно приводится в трактатах по Гидродинамике, выражен факт, что вещество не может появиться или исчезнуть из некоторого элемента объёма, не проходя внутрь или наружу через его границы.
Величина называется непрерывной функцией своих переменных, если при непрерывном изменении этих переменных она сама изменяется непрерывно.
Таким образом, если 𝑢 есть функция 𝑥 и при непрерывном изменении 𝑥 от 𝑥0 до 𝑥1 и непрерывно переходит от 𝑢0 до 𝑢1 а при изменении 𝑥 от 𝑥1 до 𝑥2 и переходит от 𝑢'1 до 𝑢'2, причём 𝑢'1 отличается от 𝑢1 то про величину 𝑢 говорят, что она имеет разрыв относительно изменения 𝑥 при значении 𝑥=𝑥1, потому что она меняется от 𝑢1 до 𝑢'1 скачком при непрерывном прохождении 𝑥 через 𝑥1.
Рассмотрим производную от 𝑢 по 𝑥 при значении 𝑥=𝑥1 как предел дроби (𝑢2-𝑢)/(𝑥2-𝑥), когда 𝑥2 и 𝑥0 становятся сколь угодно близкими к 𝑥1. Тогда, если 𝑥0 и 𝑥2 всё время находятся по разные стороны от 𝑥1 предельное значение числителя станет равным 𝑢'1-𝑢1, а предельное значение знаменателя обратится в нуль. Если 𝑢 является величиной физически непрерывной, то разрыв может осуществляться только при определённых значениях переменной 𝑥. В этом случае мы можем допустить, что величина 𝑢 имеет бесконечную производную при 𝑥=𝑥1. Если же 𝑢 не является физически непрерывной, она может быть недифференцируема вообще.
В физических вопросах можно избавиться от идеи разрывности без ощутимых изменений условий рассматриваемой задачи. Если 𝑥0 ничтожно меньше 𝑥1, а 𝑥2 ничтожно больше 𝑥1 то величина 𝑢0 почти равна 𝑢1 а величина 𝑢2 почти равна 𝑢'1. И мы можем теперь предположить, что 𝑢 изменяется каким-либо произвольным, но непрерывным образом от 𝑢0 до 𝑢2 между пределами 𝑥0 и 𝑥2. Во многих физических вопросах можно, сделав вначале такого рода предположение, исследовать затем полученный результат, приближая, а в пределе и совмещая, значения 𝑥0 и 𝑥2 со значением 𝑥1. Если ответ не зависит от произвола, допущенного нами в способе изменения величины 𝑢 (внутри её пределов), мы можем считать его верным также и для разрывных 𝑢.
Разрывность функции от более чем одной переменной
8. Если значения всех переменных, кроме 𝑥, положить постоянными, то разрыв функции будет происходить при некоторых значениях 𝑥, связанных с другими переменными уравнением, которое можно записать так:
φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.
Разрыв будет происходить, когда φ=0. При φ положительных функция будет иметь вид 𝐹2(𝑥,𝑦,𝑧,…), а при φ отрицательных -𝐹1(𝑥,𝑦,𝑧,…), причём не нужно налагать никаких необходимых связей между 𝐹1 и 𝐹2.
Для того, чтобы выразить эту разрывность в математической форме, допустим, что одна из переменных, скажем, переменная 𝑥, представлена как функция от φ и от остальных переменных; допустим также, что 𝐹1 и 𝐹2 представлены как функции φ, 𝑦, 𝑧, …. Тогда мы может описать общий вид этой функции с помощыо такой формулы, которая при положительных φ давала бы значения приблизительно равные 𝐹2, а при отрицательных φ - приблизительно равные 𝐹1. Эта формула такова:
𝐹=
𝐹1+𝑒𝑛φ𝐹2
1+𝑒𝑛φ
.
До тех пор, пока число 𝑛 остаётся конечным (хотя и большим), функция 𝐹 будет непрерывной, но если сделать 𝑛 бесконечным, то функция 𝐹 окажется равной 𝐹2 при положительных φ и 𝐹1 при отрицательных φ.