Разрывность производных от непрерывных функций
Первые производные от непрерывной функции могут быть и разрывными. Пусть значения переменных, для которых происходит разрыв производных, связаны уравнением
φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.
a 𝐹1 и 𝐹2 выражены через φ и через (𝑛-1) остальных переменных, скажем, через (𝑦,𝑧,…).
Тогда при φ отрицательных следует брать 𝐹1, а при φ положительных 𝐹2, и так как при φ=0 функция 𝐹 сама по себе непрерывна, то 𝐹1=𝐹2.
Следовательно, при значении φ, равном нулю, производные 𝑑𝐹1/𝑑φ и 𝑑𝐹2/𝑑φ могут быть различными, но производные по любой другой переменной, такие, как 𝑑𝐹1/𝑑𝑦 и 𝑑𝐹2/𝑑𝑦, должны быть одинаковыми. Разрывность, таким образом, ограничена только производными по φ, все же другие производные остаются непрерывными.
Периодические и кратные функции
9. Если функция 𝑢 от 𝑥 такова, что её значения при 𝑥, 𝑥+𝑎, 𝑥+𝑛𝑎 одинаковы, как и при всех других значениях 𝑥, отличающихся на 𝑎, то 𝑢 называется периодической функцией 𝑥, а 𝑎 - её периодом.
Если же рассматривать 𝑥 как функцию 𝑢, то для некоторого заданного значения 𝑢 должен существовать бесконечный ряд значений 𝑥, отличающихся друг от друга на величину, кратную 𝑎. В этом случае 𝑥 называется кратной функцией 𝑢, а величина 𝑎 - её циклической постоянной.
Производная 𝑑𝑥/𝑑𝑢 имеет только конечное число значений, отвечающих данному значению 𝑢.
О соотношении между физическими величинами и направлениями в пространстве
10. Характеризуя разновидности физических величин, очень важно знать, как они зависят от направлений тех координатных осей, которые обычно используются для установления местоположения предметов. Введение Декартом координатных осей в геометрию было одним из величайших шагов в развитии математики, ибо это свело методы геометрии к расчётам, совершаемым над численными величинами. Положение точки сделалось зависящим от длин трёх линий, проводимых всякий раз в определённых направлениях, а линия, соединяющая две точки, подобным же образом стала рассматриваться как результирующая трёх линий.
Однако, в отличие от вычислений, для многих целей физического обоснования желательно избегать явного введения декартовых координат, сосредоточивая внимание сразу же на точке в пространстве, а не на трёх её координатах, или на величине и направлении силы, а не на трёх её составляющих. Такой подход к рассмотрению геометрических и физических величин является более простым и естественным, чем другой, координатный, хотя связанные с ним представления не получили полного развития до тех пор, пока Гамильтон не сделал следующего великого шага в обращении с пространством и не изобрёл своё Кватернионное Исчисление.
Поскольку декартовы методы всё ещё остаются наиболее привычными для исследователей, занимающихся наукой, и они действительно являются наиболее удобными при вычислениях, мы тоже будем выражать все наши результаты в декартовой форме. Я убеждён, однако, что введение идей, извлечённых из кватернионных операций и методов, принесёт нам огромную пользу при изучении всех разделов нашего курса, особенно электродинамики, где приходится иметь дело с рядом физических величин, соотношения между которыми можно существенно проще представить при помощи нескольких выражений по Гамильтону, чем через обычные уравнения.
11. Одной из наиболее важных особенностей метода Гамильтона является разделение величин на Скаляры и Векторы.
Скалярная величина допускает полное определение при помощи одной-единственной численной характеристики. Её численное значение никоим образом не зависит от принятого нами направления координатных осей.
Вектор, или Направленная величина, для своего определения требует трёх численных характеристик, и проще всего они могут быть поняты как величины, отсчитываемые в направлениях координатных осей.
Скалярные величины не включают в себя никаких направлений. Объём геометрической фигуры, масса и энергия материального тела, гидростатическое давление в какой-либо точке жидкости, потенциал в какой-либо точке пространства - всё это примеры скалярных величин.
Векторная величина имеет направление, а также модуль, причём обращение её направления на противоположное изменяет её знак. Смещение точки, представляемое прямой линией, проведённой из-её начального положения в конечное, может быть взято в качестве типичной векторной величины, из которой в самом деле и было образовано название Вектор.