Скорость тела, его импульс, сила, действующая на тело, электрический ток, намагниченность частицы железа - всё это примеры векторных величин.
Существуют и другого рода физические величины, которые хотя и связаны с направлениями в пространстве, но не являются векторами. Натяжения и деформация в твёрдых телах служат этому примерами, сюда же относятся некоторые свойства тел, изучаемые в теории упругости и теории двойного лучепреломления. Для определения величин этого класса требуется девять численных характеристик. На языке кватернионов они выражаются как линейные и векторные функции от вектора.
Сложение одной векторной величины с другой, однотипной с ней, производится в соответствии с правилом сложения сил в статике. Действительно, доказательство, которое даёт Пуассон для «параллелограмма сил», применимо к составлению любых величин, перевёртывание (перестановка концов) которых равносильно обращению их знака.
В тех случаях, когда у нас появится желание обозначить векторную величину одним символом и привлечь внимание к тому факту, что она является вектором и что у неё необходимо рассматривать как направление, так и модуль, мы будем прибегать к заглавным готическим буквам, например 𝔄, 𝔅, …
В кватернионном исчислении положение точки в пространстве определяется вектором, проведённым в эту точку из некоторой фиксированной точки, называемой начальной точкой или началом координат. Если нам нужно изучать какую-либо физическую величину, значение которой зависит от положения точки, то она рассматривается как функция вектора, проведённого из начала координат. Сама эта функция может быть и скаляром, и вектором. Плотность тела, его температура, его гидростатическое давление, потенциал в точке - всё это примеры скалярных функций. Результирующая сила в точке, скорость жидкости в точке, скорость вращения элемента жидкости, а также момент пары сил, производящий вращение,- всё это примеры векторных функций.
12. Физические векторные величины можно разделить на два класса: в одном из них величина определена относительно линии, в другом - относительно площади.
Так, например, результирующую силу притяжения можно измерить, отыскав работу, которую она произвела бы над телом при его перемещении на малое расстояние в направлении силы, и поделив её на величину этого малого расстояния. Здесь сила притяжения определена относительно линии.
С другой стороны, поток тепла в каком-либо направлении в какой-либо точке твёрдого тела может быть определён как количество тепла, которое проходит через маленькую площадку, проведённую перпендикулярно к данному направлению, делённое на величину этой площадки и на время. Здесь поток определён относительно площадки.
Существуют некоторые случаи, в которых одна и та же величина может быть измерена и относительно линии, и относительно площадки.
Так, при рассмотрении смещений в упругих телах мы можем обратить внимание либо на начальное и фактическое положения частицы, и в этом случае её смещение измеряется линией, проведённой из первого положения во второе; либо мы можем рассматривать маленькую фиксированную в пространстве площадку и определить, какое количество вещества проходит через эту площадку за время смещения.
Точно так же можно исследовать и скорость жидкости, принимая во внимание либо действительную скорость отдельных её частей, либо количество жидкости, протекающей через какую-либо фиксированную площадку.
Однако для применения первого метода в обоих этих случаях наряду со смещением или скоростью требуется независимо знать плотность тела; второй же метод должен применяться всякий раз при попытках построения молекулярной теории.
В случае потока электричества в проводнике мы не знаем ничего ни о его плотности, ни о скорости, нам известна лишь та величина, которая в теории жидкости соответствовала бы произведению плотности на скорость. И поэтому во всех таких случаях следует применять более общий метод измерения потока через площадку.
В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряжённости принадлежат к величинам первого класса - они определены относительно линий. При желании отметить это обстоятельство мы можем, ссылаясь на них, именовать их Напряжённостями (интенсивностями).
Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса - они определены относительно площади. При желании отметить это обстоятельство мы будем, ссылаясь на них, именовать их Потоками.