С другой стороны, северный и южный полюса магнита разделяются не так, как кислород и водород, которые в процессе электролиза появляются на противоположных местах, поэтому у нас нет свидетельства в пользу того, что магнетизм относится к продольным явлениям; в то же время действие магнетизма при вращении плоскости поляризации плоско поляризованного света отчётливо показывает, что магнетизм относится к явлениям вращательным.
О линейных интегралах
16. Операция интегрирования проекции векторной величины вдоль линии имеет важное значение в физике, и потому её следовало бы ясно понимать.
Пусть 𝑥, 𝑦, 𝑧 - координаты точки 𝑃, расположенной на некоторой кривой, длина которой, измеряемая от определённой точки 𝐴, равна 𝑠. Эти координаты будут функциями только одной переменной 𝑠.
Обозначим через 𝑅 численное значение векторной величины в точке 𝑃, и пусть касательная к кривой в этой точке образует с направлением 𝑅 угол ε. Тогда величина 𝑅 cos ε представляет собой составляющую 𝑅 вдоль кривой, а интеграл
𝐿=
𝑠
∫
0
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
называется линейным интегралом от 𝑅 вдоль 𝑠.
Это выражение может быть записано так:
𝐿=
𝑠
∫
0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑍
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие 𝑅, параллельные осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно.
В общем случае этот интеграл для различных линий, проведённых между 𝐴 и 𝑃 различен. Но когда внутри некоторой области величина
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
-𝐷Ψ
является полным дифференциалом, то интеграл 𝐿 становится равным 𝐿=Ψ𝐴-Ψ𝑃. при этом он одинаков для любых двух путей произвольной формы между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что форма одного пути может быть преобразована в форму другого посредством непрерывного перемещения без выхода за пределы данной области.
О потенциалах
Величина Ψ есть скалярная функция положения точки, и поэтому она не зависит от направлений отсчёта. Её называют Потенциальной Функцией; а про векторную величину с компонентами 𝑋, 𝑌, 𝑍 говорят, что она имеет потенциал Ψ, если
𝑋
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
,
𝑌
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
,
𝑍
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
.
Если потенциальная функция существует, то поверхности, на которых потенциал постоянен, называются Эквипотенциальными. В любой точке такой поверхности направление 𝑅 совпадает с нормалью к ней; если обозначить через 𝑛 нормаль в точке 𝑃 то 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑𝑛).
Метод представления составляющих вектора через первые производные по координатам от некоторой функции этих координат был предложен Лапласом 4 при разработке теории притяжений. Само название «Потенциал» впервые было дано этой функции Грином 5, который положил её в основу своего подхода к изучению электричества. Эта работа Грина осталась незамеченной математиками вплоть до 1846 года, а к тому времени большая часть содержащихся в ней важных теорем была уже переоткрыта Гауссом, Шалем (Chasles), Штурмом и Томсоном 6.
4Méc. Céleste, liv. III.
5 Essay on the Application of Mathematical Analisys to the Theories of Electricity and Magnetism, 1828. Reprinted in Crelle’s Journal and in Mr. Ferrers’ edition of Green’s Works.
6 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 483.
В теории тяготения потенциал берётся со знаком, противоположным тому, который используется здесь, и результирующая сила в каком-либо направлении тогда измеряется скоростью возрастания потенциальной функции в этом направлении. При изучении электричества и магнетизма потенциал определяется так, что результирующая сила в каком-либо направлении измеряется скоростью убывания потенциала в этом направлении. Такой способ использования выражения для потенциала приводит его в соответствие (по знаку) с потенциальной энергией, которая всегда убывает при перемещении тел в направлении действующих на них сил.
17. Геометрическая природа связи потенциала с вектором, вычисляемым через потенциал указанным способом, значительно проясняется благодаря открытию Гамильтоном выражения для оператора, при помощи которого вектор вычисляется из потенциала.