4
𝑛𝐸
𝐴
, если 𝑟
=
0 и α
=
1
3
𝐴
.
Отсюда
𝐵-𝐴
𝐴
=
2
3
δ-δ'
Δ
.
В дифференциальном гальванометре два тока должны производить равное и противоположное воздействие на подвешенную стрелку. Сила, с которой каждый из токов действует на стрелку, зависит не только от величины этого тока, но и от положения витков провода относительно стрелки. Поэтому, если катушка намотана недостаточно тщательно, отношение 𝑚 к 𝑛 может меняться при изменении положения стрелки, и, следовательно, если возникают подозрения о любом изменении положения стрелки, необходимо соответствующими методами определять это отношение 𝑚 к 𝑛 каждый раз в течение хода измерений.
В другом методе, в котором используется мостик Уитстона, требуется только обычный гальванометр, и наблюдаемое нулевое отклонение стрелки вызвано не противодействием двух токов, а отсутствием тока в проводе. Поэтому мы наблюдаем не только нулевое отклонение, но и нулевой ток, и не может возникнуть ошибок от недостаточной регулярности или от изменений любого вида в катушках гальванометра. От гальванометра только требуется, чтобы он был достаточно чувствителен, для того чтобы определять существование и направление тока, и не нужно каким-либо способом определять величину тока или сравнивать величину этого и другого тока.
347. Мостик Уитстона состоит, по существу, из шести проводников, соединяющих четыре точки. К двум из этих точек прикладывается электродвижущая сила 𝐸 с помощью вольтовой батареи, введённой между 𝐵 и 𝐶. Ток между двумя другими точками 𝑂 и 𝐴 измеряется гальванометром [рис. 32].
Рис. 32
При определённых условиях этот ток обращается в нуль. Тогда говорят, что проводники 𝐵𝐶 и 𝑂𝐴 сопряжены один другому, что накладывает определённую связь на сопротивления других четырёх проводников, и эта связь используется при измерении сопротивлений.
Если ток через 𝑂𝐴 равен нулю, потенциал в точке 𝑂 должен быть равен потенциалу в точке 𝐴. Но если мы знаем потенциалы в 𝐵 и 𝐶, мы можем определить потенциалы в 𝑂 и 𝐴 с помощью правил, данных в п. 275, с учётом того, что ток в 𝑂𝐴 отсутствует:
𝑂
=
𝐵γ+𝐶β
β+γ
,
𝐴
=
𝐵𝑏+𝐶𝑐
𝑏+𝑐
,
откуда получаем условие 𝑏β=𝑐γ, где 𝑏, 𝑐, β, γ обозначают соответственно сопротивления участков 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶.
Чтобы определить степень точности, достижимую в этом методе, мы должны определить силу тока в 𝑂𝐴 если это условие не выполнено точно.
Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, и 𝑂 - четыре точки. Пусть токи, текущие вдоль 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, и 𝐴𝐵, равны соответственно 𝑥, 𝑦 и 𝑧, а сопротивления этих проводников - 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Пусть токи, текущие вдоль 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 и 𝑂𝐶 равны ξ, η, ζ, а соответствующие сопротивления равны α, β и γ. Пусть электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль 𝐵𝐶 Требуется определить ток ξ через 𝑂𝐴.
Обозначим потенциалы в точках 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂 буквами 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂. Уравнения, определяющие прохождение тока, будут
𝑎𝑥
=
𝐵-𝐶+𝐸,
αξ
=
𝑂-𝐴,
𝑏𝑦
=
𝐶-𝐴,
βη
=
𝑂-𝐵,
𝑐𝑧
=
𝐴-𝐵,
γζ
=
𝑂-𝐶,
а уравнения непрерывности:
ξ+𝑦+𝑧
=
0,
η+𝑧-𝑥
=
0,
ζ+𝑥-𝑦
=
0.
Рассматривая систему как образованную тремя цепями 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых токи соответственно равны 𝑥, 𝑦, и 𝑧, и применяя к каждой замкнутой цепи правило Кирхгофа, мы исключаем значения потенциалов 𝑂, 𝐴, 𝐵, 𝐶 и токов ξ, η, ζ и получаем следующие уравнения для 𝑥, 𝑦, и 𝑧:
(𝑎+β+γ)
𝑥
-γ
𝑦
-β
𝑧
=
𝐸,
-γ
𝑥
+(𝑏+γ+α)
𝑦
-α
𝑧
=
0,
-β
𝑥
-α
𝑦
+(𝑐+α+β)
𝑧
=
0.
Отсюда, если мы положим
𝐷
=
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑎+β+γ,
-γ,
-β,
⎪
⎪
⎪
⎪
,
-γ,
𝑏+γ+α,
-α,
-β,
-α,
𝑐+γ+α
найдём
ξ
=
𝐸
𝐷
(𝑏β-𝑐γ)