и
𝑥
=
𝐸
𝐷
{
(𝑏+γ)
(𝑐+β)
+
α(𝑏+𝑐+β+γ)
}.
348. Значение 𝐷 можно выразить в симметричной форме
𝐷
+
𝑎𝑏𝑐
+
𝑏𝑐(β+γ)
+
𝑐𝑎(γ+α)
+
𝑎𝑏(α+β)
+
+
(𝑎+𝑏+𝑐)
(βγ+γα+αβ)
,
или, так как мы предполагаем, что батарея составляет часть проводника 𝑎, а гальванометр - часть проводника α, можем вместо а писать сопротивление батареи 𝐵, а вместо 𝑎 - сопротивление гальванометра 𝐺. Мы тогда находим
𝐷
=
𝐵𝐺
(𝑏+𝑐+β+γ)
+
𝐵(𝑏+γ)(𝑐+β)
+
+
𝐺(𝑏+𝑐)(β+γ)
+
𝑏𝑐(β+γ)
+
+βγ(𝑏+𝑐)
.
Если бы электродвижущая сила 𝐸 действовала вдоль отрезка 𝑂𝐴, причём сопротивление отрезка 𝑂𝐴 было бы по-прежнему равно α, и если бы гальванометр был включён в 𝐵𝐶, причём сопротивление 𝐵𝐶 было бы по-прежнему равно 𝑎, то величина 𝐷 не изменилась бы и ток в 𝐵𝐶, вызванный электродвижущей силой 𝐸, действующей вдоль 𝑂𝐴, был бы равен току в 𝑂𝐴, вызванному электродвижущей силой 𝐸, действующей в 𝐵𝐶.
Но если мы просто отъединим батарею и гальванометр и, не меняя их соответствующих сопротивлений, присоединим батарею к точкам 𝑂 и 𝐴, а гальванометр - к точкам 𝐵 и 𝐶, то в выражении для 𝐷 мы должны поменять местами 𝐵 и 𝐺. Если обозначить через 𝐷' выражение, в которое переходит 𝐷 после такой перестановки, мы находим
𝐷-𝐷'
=
(𝐺-𝐵)
{
(𝑏+𝑐)
(β+γ)
-
(𝑏+γ)
(β+𝑐)
}=
=
(𝐵-𝐺)
{
(𝑏-β)
(𝑐-γ)
}.
Предположим, что сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.
Предположим также, что в своём первоначальном положении гальванометр соединяет контакт двух проводников, β и γ, обладающих наименьшими сопротивлениями, с контактом двух проводников 𝑏, 𝑐, обладающих наибольшими сопротивлениями. Другими словами, мы будем предполагать, что если величины 𝑏, 𝑐, γ, β расположены в порядке возрастания, то 𝑏 и 𝑐 стоят рядом и γ и β стоят рядом. Поэтому величины 𝑏-β и 𝑐-γ имеют один и тот же знак, вследствие чего их произведение положительно, и потому 𝐷-𝐷' имеет тот же самый знак, что 𝐵-𝐺.
Следовательно, если сделать так, чтобы гальванометр соединял контакт между двумя наибольшими сопротивлениями с контактом между двумя наименьшими сопротивлениями, и если у гальванометра сопротивление больше, чем у батареи, то величина 𝐷 будет меньше, а величина отклонения гальванометра - больше по сравнению с тем случаем, когда соединения переставлены местами.
Отсюда вытекает следующее правило для получения наибольших отклонений гальванометра в данной системе: из двух сопротивлений, батареи и гальванометра, большее нужно подключить так, чтобы оно соединяло два наибольших и два наименьших из остальных четырёх сопротивлений.
349. Предположим, что нам нужно определить отношение сопротивлений двух проводников 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 и что это нужно сделать, отыскав такую точку 𝑂 проводника 𝐵𝑂𝐶, что если точки 𝑂 и 𝐴 соединить проводом с введённым в него гальванометром, а между 𝐵 и 𝐶 включить батарею, то заметного отклонения стрелки гальванометра не произойдёт.
Можно предположить, что проводник 𝐵𝑂𝐶 представляет собой провод с однородным сопротивлением, разделённый на равные части, и поэтому отношение сопротивлений 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶 можно отсчитывать сразу.
Можно не делать весь проводник однородным, а сделать из однородного провода только часть проводника, прилегающую к точке 𝑂, а те части, которые находятся по обе стороны, могут быть катушками любой формы, сопротивление которых точно известно.
Теперь мы будем использовать обозначения, отличающиеся от симметричных обозначений, с которых мы начали.
Пусть сопротивление 𝐵𝐴𝐶 равно 𝑅, 𝑐=𝑚𝑅 и 𝑏=(1-𝑚)𝑅, полное сопротивление 𝐵𝑂𝐶 равно 𝑆, β=𝑛𝑆 и γ=(1-𝑛)𝑆.
Величина 𝑛 отсчитывается непосредственно, а величина 𝑚 определяется по 𝑛 в положении, когда нет заметного отклонения гальванометра.
Обозначим сопротивление батареи и её соединений через 𝐵, а сопротивление гальванометра и его соединений - через 𝐺.
Находим, как раньше,
𝐷
=
𝐺
{
𝐵𝑅
+
𝐵𝑆
+
𝑅𝑆
}
+
𝑚(1-𝑚)𝑅²(𝐵+𝑆)
+
+