𝑛(1-𝑛)𝑆(𝐵+𝑅)
+
(𝑚+𝑛-2𝑚𝑛)𝐵𝑅𝑆
,
и если ξ - ток в проводе гальванометра, то
ξ
=
𝐸𝑅𝑆
𝐷
(𝑚-𝑛)
.
Чтобы получить наиболее точные результаты, мы должны сделать отклонение стрелки настолько большим, насколько это возможно в сравнении с (𝑚-𝑛) Этого можно добиться, подбирая надлежащим образом размеры гальванометра и провод стандартного сопротивления.
Когда мы дойдём до Гальванометрии, п. 716, будет показано, что если у проволоки в гальванометре менять форму, оставляя неизменной массу, то отклонение стрелки на единицу тока пропорционально длине, но сопротивление возрастает как квадрат длины. Отсюда следует, что максимальное отклонение имеет место в том случае, когда сопротивление проволоки в гальванометре равно постоянному сопротивлению остальной цепи.
Для настоящего случая, если отклонение обозначить через δ, имеем δ=𝐶√𝐺ξ, где 𝐶 - некоторая постоянная, a 𝐺 - сопротивление гальванометра, которое меняется как квадрат длины проволоки. Отсюда мы находим, что, когда величина δ достигает максимума, та часть выражения для 𝐷, которая содержит 𝐺, должна быть равна остальной части выражения.
Если мы также положим 𝑚=𝑛 как это имеет место в случае, если мы произвели правильное измерение, мы находим, что наилучшее значение 𝐺 равно 𝐺=𝑛(1-𝑛)(𝑅+𝑆).
Этот результат легко получить, рассматривая сопротивление системы между точками 𝐴 и 𝑂 с учётом того, что отрезок 𝐵𝑀 сопряжён отрезку 𝐴𝑂 и не влияет на это сопротивление.
Таким же путём мы могли бы найти, что если задана полная площадь активных поверхностей батареи, то, поскольку в этом случае величина 𝐸 пропорциональна √𝐵, наиболее выгодное устройство батареи достигается при условии
𝐵
=
𝑅𝑆
𝑅+𝑆
.
Наконец, мы определим такое значение 𝑆, при котором данное изменение величины 𝑛 вызывает наибольшее отклонение гальванометра. Дифференцируя по 𝑆 выражения для ξ мы находим, что оно максимально при
𝑆²
=
𝐵𝑅
𝐵+𝑅
⎛
⎜
⎝
𝑅
+
𝐺
𝑛(1-𝑛)
⎞
⎟
⎠
.
Если нам нужно проделать очень много измерений сопротивления, в которых величина имеющихся сопротивлений примерно одна и та же, имеет смысл специально подготовить для этой цели батарею и гальванометр. В этом случае мы находим, что наилучшее устройство достигается при 𝑆=𝑅, 𝐵=½𝑅, 𝐺=2𝑛(1-𝑛)𝑅, и если 𝑛=½, то 𝐺=½𝑅.
Об использовании Мостика Уитстона
350. Мы уже объяснили общую теорию Мостика Уитстона, теперь рассмотрим некоторые из его применений.
С наибольшей точностью может быть проведено сравнение двух равных сопротивлений.
Предположим, что β - стандартная катушка сопротивления и мы хотим отрегулировать катушку γ так, чтобы по своему сопротивлению она была равна β [рис. 33].
Рис. 33
Приготовляются ещё две катушки 𝑏 и 𝑐, которые равны или почти равны друг другу, и электроды всех четырёх катушек помещаются в ртутные чашки таким образом, что ток батареи разделяется между двумя ветвями, из которых одна состоит из β и γ, а другая - из 𝑏 и 𝑐. Катушки 𝑏 и 𝑐 соединены проводом 𝑃𝑅, сопротивление которого настолько однородно, насколько это возможно. Вдоль провода 𝑃𝑅 расположена шкала с равными делениями.
Провод гальванометра подведён одним концом к точке соединения β и γ, другим - к точке 𝑄 на проводе 𝑃𝑅, и точка контакта 𝑄 перемещается до такого положения, при котором после замыкания сначала цепи батареи, а затем цепи гальванометра не наблюдается отклонения стрелки гальванометра.
После этого катушки β и γ меняют местами и отыскивается новое положение 𝑄. Если это новое положение оказывается тем же, что и старое, то мы знаем, что перемена местами сопротивлений β и γ не привела к изменению в соотношении сопротивлений, и, следовательно, катушка у отрегулирована правильно. Если контакт 𝑄 нужно перемещать, то направление и величина перемещения указывают на характер и величину изменений в длине провода γ, после которых сопротивление катушки у станет таким же, как у катушки β.
Если сопротивления катушек 𝑏 и 𝑐, каждое из которых включает в себя сопротивление части провода 𝑃𝑅 до его нулевого отсчёта, равны соответственно сопротивлениям бис делений провода и если 𝑥 - показание шкалы для точки 𝑄 в первом случае, а 𝑦 - во втором, то