𝑋𝑇'
𝑋𝑌
=
𝐴3+𝑃𝑄3
𝑅
,
а при положении электрода в 𝐼 имеем
𝑋𝑇
𝑋𝑌
=
𝐴4+𝑃𝑄4
𝑅
.
Отсюда
𝑇'𝑇
𝑋𝑌
=
𝐴4-𝐴3+𝑄3𝑄4
𝑅
.
Теперь мы можем вывести отношение сопротивлений 𝑆𝑆' и 𝑇'𝑇:
𝑆𝑆'
𝑇'𝑇
=
𝐴2-𝐴1+𝑄1𝑄2
𝐴4-𝐴3+𝑄3𝑄4
.
Если не требуется большой точности, мы можем не учитывать катушек сопротивления 𝐴 и 𝐶 и тогда находим
𝑆𝑆'
𝑇'𝑇
=
𝑄1𝑄2
𝑄3𝑄4
.
Отсчёты положения 𝑄 на проводе длиною в метр не могут превышать точность в одну десятую миллиметра, а сопротивление на разных участках может существенно различаться из-за неравенства температуры, трения и т. д. Поэтому в тех случаях, когда требуется большая точность, в 𝐴 и 𝐶 вводятся катушки со значительным сопротивлением, и отношение сопротивлений этих катушек может быть определено более точно, чем отношение сопротивлений тех частей, на которые разделяется провод точкой 𝑄.
В дальнейшем будет видно, что в этом методе точность определения ни в какой степени не зависит от совершенства контактов в 𝑆, 𝑆' или 𝑇', 𝑇.
Этот метод можно назвать дифференциальным методом использования Мостика Уитстона, поскольку он основан на сравнении независимо сделанных наблюдений.
Существенным условием точности в этом методе является условие, чтобы сопротивление соединений оставалось тем же самым в продолжение цикла из четырёх измерений, необходимых для полного определения. Поэтому серию измерений следует всегда повторять, чтобы отметить любое изменение в сопротивлениях.
О сравнении больших сопротивлений
353. Когда сопротивления, которые нужно измерить, очень велики, сравнение потенциалов в различных точках системы может быть проведено с помощью чувствительного электрометра, такого, как Квадрантный Электрометр, описанный в п. 219.
Если проводники, сопротивление которых требуется измерить, соединены последовательно и через них проходит один и тот же ток от батареи с большой электродвижущей силой, разность потенциалов на концах каждого проводника будет пропорциональна сопротивлению этого проводника. Поэтому, соединяя электроды электрометра с концами сначала одного, а затем другого проводника, можно определить отношение их сопротивлений.
Этот метод определения сопротивлений является самым прямым. Он связан с использованием электрометра, на показания которого можно полагаться, и мы также должны иметь некоторую гарантию того, что во время эксперимента ток остаётся постоянным.
Четыре проводника с большим сопротивлением можно также расположить по схеме Мостика Уитстона, при этом сам Мостик может быть образован электродами электрометра, а не электродами гальванометра. Преимущество этого метода заключается в том, что для отклонения стрелки электрометра не требуется постоянного тока, в то время как стрелка гальванометра не может отклоняться, если по проводу не идёт постоянный ток.
354. Если сопротивление проводника настолько велико, что ток, который может создать в нём любая достижимая электродвижущая сила, является слишком малым для прямого измерения с помощью гальванометра, можно использовать конденсатор, для того чтобы в течение определённого времени накапливать электричество, а затем оценить накопленное количество, разряжая конденсатор через гальванометр. Этот метод предложили г-да Брайт (Bright) и Кларк (Clark) для испытания соединений в подводных кабелях.
355. Но самый простой метод, позволяющий измерить сопротивление такого проводника,- это зарядить конденсатор большой ёмкости, а затем соединить две его поверхности с электродами электрометра, а также с концами этого проводника. Если 𝐸 - разность потенциалов, которую показывает электрометр, 𝑆 - ёмкость конденсатора, 𝑄 - заряд на каждой из двух поверхностей, 𝑅 - сопротивление проводника и 𝑥 - ток в нём, то по теории конденсаторов 𝑄=𝑆𝐸.
По Закону Ома 𝐸=𝑅𝑥, и по определению тока 𝑥=-(𝑑𝑄/𝑑𝑡).
Отсюда -𝑄=𝑅𝑆/(𝑑𝑄/𝑑𝑡) и 𝑄=𝑄0𝑒-𝑡/(𝑅𝑆), где 𝑄0 - заряд вначале, при 𝑡=0.
Аналогичным образом 𝐸=𝐸0𝑒-𝑡/(𝑅𝑆), где 𝐸0 - начальный отсчёт по шкале электрометра, а 𝐸 - отсчёт, сделанный после того, как пройдёт время 𝑡.