Профессор У. X. Миллер (W. Н. Miller) подсказал мне, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля - по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотношений и хмелёвых соотношений.
Принимаемая нами виноградная система - это система Линнея (Linnaeus); ею пользуются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Кандолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелёвой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колёс с левой стороны обычных экипажей, и они всегда называются левыми винтами всеми, кто ими пользуется.
Так, например, если принять действительное вращение Земли с запада на восток за положительное, то и направление земной оси с юга на север также будет взято за положительное; и если человек идёт вперёд в положительном направлении, то положительное вращение происходит в таком порядке: голова, правая рука, ноги, левая рука.
Если мы поместим себя на положительную сторону некоторой поверхности, то положительное направление вдоль ограничивающей эту поверхность кривой окажется противоположным движению стрелок часов, циферблат которых обращён к нам.
Это и есть та самая правая (правосторонняя) система отсчёта, которая принята Томсоном и Тэтом в их книге «Натуральная философия» (Natural Philosophy), а также в книге Тэта «Кватернионы» (Quaternions). Противоположная ей левая (левосторонняя) система отсчёта принята в гамильтоновых «Кватернионах» (Lectures, р. 76, and Elements, р. 108, and р. 117 note). Операция перехода от одной системы к другой названа Листингом Перверсией - обращением, зеркальным отражением.
Отражение какого-либо предмета в зеркале является его обращённым изображением.
Используя Декартовы оси координат 𝑥, 𝑦, 𝑧, мы будем изображать их так, чтобы общепринятая договорённость о циклическом порядке расположения символов приводила к правой системе отсчёта направлений в пространстве. Так, если ось 𝑥 проведена смотрящей на восток, а ось 𝑦 - на север, то ось 𝑧 должна быть проведена вертикально вверх.
Площади поверхностей будут браться с положительным знаком в том случае, когда порядок интегрирования совпадает с циклическим порядком расстановки символов. Так, площадь на плоскости 𝑥𝑦 расположенная внутри некоторой замкнутой кривой, может быть записана либо ∫𝑥𝑑𝑦 либо - ∫𝑦𝑑𝑥; в первом выражении порядок интегрирования есть 𝑥, 𝑦 во втором - 𝑦, 𝑥.
Это соотношение между двумя произведениями 𝑑𝑥 𝑑𝑦 и 𝑑𝑦 𝑑𝑥 можно сравнить с правилом умножения двух перпендикулярных векторов в теории кватернионов, где знак произведения определяется порядком умножения; его можно сравнить также с изменением знака детерминанта, происходящим при перестановке местами соседних строчек или столбцов.
По таким же причинам объёмный интеграл должен считаться положительным, когда порядок интегрирования совпадает с циклической расстановкой переменных 𝑥, 𝑦, 𝑧 и отрицательным при обращённом порядке цикличности.
Перейдём теперь к доказательству теоремы, полезной для установления связи между поверхностным интегралом, взятым по некоторой конечной поверхности, и линейным интегралом, взятым вдоль её границы.
24.Теорема IV.Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, может быть выражен через поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной этой кривой.
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 будут составляющие той векторной величины 𝔄, линейный интеграл от которой должен быть взят по замкнутой кривой 𝑠.
Пусть произвольная непрерывная поверхность 𝑆 целиком ограничена замкнутой кривой 𝑠, а составляющие ξ, η, ζ другой векторной величины 𝔅 связаны с составляющими 𝑋, 𝑌, 𝑍 уравнениями
ξ
=
𝑑𝑍
𝑑𝑦
-
𝑑𝑌
𝑑𝑧
,
η
=
𝑑𝑋
𝑑𝑧
-
𝑑𝑍
𝑑𝑥
,
ζ
=
𝑑𝑌
𝑑𝑥
-
𝑑𝑋
𝑑𝑦
.
(1)
Тогда поверхностный интеграл от 𝔅, взятый по поверхности 𝑆, равен линейному интегралу от 𝔄, взятому вдоль кривой 𝑠. Очевидно, что сами составляющие 𝑋, 𝑌, 𝑍 удовлетворяют условию соленоидальности.