Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 будут направляющими косинусами нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда величина поверхностного интеграла от 𝔅 может быть записана так:
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
.
(2)
Для того чтобы придать элементу 𝑑𝑆 определённый смысл, предположим, что в каждой точке поверхности значения координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 заданы как функции двух независимых переменных α и β. Если β постоянна, а α изменяется, точка (𝑥, 𝑦, 𝑧) будет описывать некоторую кривую на поверхности, и если перебрать целый ряд значений β, то будет прочерчена серия таких кривых, полностью лежащих на поверхности 𝑆. Подобным же образом, перебирая последовательность постоянных α, можно нанести вторую серию кривых, пересекающихся с кривыми первой серии и разделяющих всю поверхность на элементарные участки, любой из которых может быть взят за элемент 𝑑𝑆.
Проекция этого элемента на плоскость 𝑦𝑧 согласно обычным формулам, равна
𝑙𝑑𝑆
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦
𝑑α
𝑑𝑧
𝑑β
-
𝑑𝑦
𝑑β
𝑑𝑧
𝑑α
⎞
⎟
⎠
𝑑β
𝑑α
.
(3)
Выражения для 𝑚𝑑𝑆 и 𝑛𝑑𝑆 получаются отсюда путём перестановки 𝑥, 𝑦, 𝑧 в циклическом порядке.
Поверхностный интеграл, который мы должны найти, есть
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
,
(4)
или, выражая ξ, η, ζ через 𝑋, 𝑌, 𝑍
∬
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑑𝑋
𝑑𝑧
-𝑛
𝑑𝑋
𝑑𝑦
+𝑛
𝑑𝑌
𝑑𝑥
-𝑙
𝑑𝑌
𝑑𝑧
+𝑙
𝑑𝑍
𝑑𝑦
-𝑚
𝑑𝑍
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
.
(5)
Часть этого интеграла, зависящая от 𝑋, может быть записана так:
∬
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑋
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑧
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
-
𝑑𝑧
𝑑β
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-
𝑑𝑋
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑α
𝑑𝑦
𝑑β
-
𝑑𝑥
𝑑β
𝑑𝑦
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑β
𝑑α
.
(6)
После добавления и вычитания величины
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
это выражение становится таким:
∬
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑥
𝑑β
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑α
+
𝑑𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑α
+
𝑑𝑋
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-
-
𝑑𝑥
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑β
+
𝑑𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑β
+
𝑑𝑋
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑β
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑β
𝑑α
;
(7)
=
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
-
𝑑𝑋
𝑑β
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠
𝑑β
𝑑α
.
(8)
Предположим теперь, что кривые постоянных α образуют семейство замкнутых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой α принимает своё минимальное значение, равное α0; пусть последняя кривая этого семейства, для которой α=α1 совпадает с замкнутой кривой 𝑠.
Предположим также, что кривые постоянных β образуют семейство линий, проведённых от точки, где α=α0, до замкнутой кривой 𝑠, причём первая линия, соответствующая значению β0, совпадает с последней линией β1.