При интегрировании (8) по частям (первый член интегрируется по α, а второй - по β) двойные интегралы взаимно уничтожаются и выражение принимает вид
β1
∫
β0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑β
⎞
⎟
⎠α=α1
𝑑β
-
β
∫
β0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑β
⎞
⎟
⎠α=α0
𝑑β
-
-
α1
∫
α0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠β=β1
𝑑α
+
α1
∫
α0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠β=β0
𝑑α
.
(9)
Так как точка (α, β1) совпадает с точкой (α, β0), то третий и четвёртый члены уничтожают друг друга, и поскольку в точке, где α=α0 существует только одно значение 𝑥 то второй член обращается в нуль и выражение сводится к первому члену.
Так как кривая α=α1 совпадает с замкнутой кривой 𝑠, мы можем написать это выражение в виде
∫
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑠
,
(10)
где интегрирование выполняется вдоль кривой 𝑠. Аналогично можно поступить и с теми частями поверхностного интеграла, которые зависят от 𝑌 и 𝑍, так что окончательно получаем
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑍
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
(11)
где первый интеграл распространён на поверхности 𝑆, а второй берётся вдоль ограничивающей её кривой 𝑠. 11
11 Эта теорема была дана профессором Стоксом (Smith’s Prize Examination, 1854, question 8). Она доказана в книге Томсона и Тэта Natural Philosophy, § 190 (II).
О действии оператора ∇ на векторную функцию
25. Мы видели, что оператор, обозначенный как ∇, - это такой оператор, при помощи которого векторная величина вычисляется из её потенциала. Тот же самый оператор, однако, применённый к векторной функции, даёт результаты, входящие в две только что доказанные нами теоремы (III и IV). Профессору Тэту 12 мы обязаны обобщением этого оператора применительно к векторным смещениям, а также большей части последующих усовершенствований.
12 См. Proc. R. S. Edin., April 28, 1862. «On Green’s and other allied Theorems», Trans. R. S. Edin., 1869-70 - очень ценная статья, и «On some Quaternion Integrals», Proc. R. S. Edin., 1870-71.
Пусть σ будет векторной функцией вектора переменной точки ρ. Как обычно, предположим, что
ρ=
𝑖𝑥
+
𝑗𝑦
+
𝑘𝑧
и
σ=
𝑖𝑋
+
𝑗𝑌
+
𝑘𝑍
,
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие σ в направлениях осей.
Мы должны совершить над σ операцию
∇=
𝑖
𝑑
𝑑𝑥
+
𝑗
𝑑
𝑑𝑦
+
𝑘
𝑑
𝑑𝑧
.
Выполняя эту операцию и помня правило перемножения 𝑖, 𝑗, 𝑘 мы находим, что ∇σ состоит из двух частей: одной - скалярной и другой - векторной.
Скалярная часть
𝑆∇σ
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
,
(см.Теорему III)
а векторная часть
𝑉∇σ
=
𝑖
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑍
𝑑𝑦
-
𝑑𝑌
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+𝑗
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑧
-
𝑑𝑍
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+𝑘
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑌
𝑑𝑥
-
𝑑𝑋
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
.
Если связь между 𝑋, 𝑌, 𝑍 и ξ, η, ζ задаётся уравнением (1) предыдущей теоремы, то мы можем записать
𝑉∇σ
=
𝑖ξ