+
𝑗η
+
𝑘ζ
(см. Теорему IV)
Таким образом, оказывается, что функции от 𝑋, 𝑌, 𝑍, фигурирующие в двух теоремах, получаются в результате действия оператора ∇ на вектор, компоненты которого суть 𝑋, 𝑌, 𝑍. А сами эти теоремы могут быть записаны так:
∭
𝑆∇σ
𝑑𝑣
=
∬
𝑆σ
𝑈
ν
𝑑𝑠
(III)
и
∫
𝑆σ
𝑑ρ
=-
∬
𝑆∇σ
𝑈
ν
𝑑𝑠
,
(IV)
где 𝑑𝑣 есть элемент объёма, 𝑑𝑠 -элемент поверхности, 𝑑ρ - элемент кривой, 𝑈ν - единичный вектор в направлении нормали.
Для того чтобы понять смысл этих функций вектора, предположим, что σ0 есть значение σ в точке 𝑃 и будем изучать величину σ-σ0 в окрестности 𝑃. Если построить вокруг 𝑃 некоторую замкнутую поверхность, то при направленном внутрь поверхностном интеграле от σ, взятом по этой поверхности, величина 𝑆∇σ будет положительной и вектор σ-σ0 около точки 𝑃 в целом будет направлен в сторону 𝑃, как это показано на рис. 1.
В связи с этим я предлагаю скалярную часть от ∇σ называть конвергенцией σ в точке 𝑃.
Для интерпретации векторной части ∇σ предположим, что вектор, имеющий компоненты ξ, η, ζ, направлен под прямым углом к плоскости листа вверх, и будем изучать вектор σ-σ0 вблизи точки 𝑃. При этом окажется (см. рис. 2), что этот вектор в целом расположен тангенциально и направлен противоположно движению часовых стрелок.
Я предлагаю (с большой неуверенностью, однако) называть векторную часть ∇σ ротацией (ротором) σ в точке 𝑃.
На рис. 3 проиллюстрировано сочетание ротации и конвергенции.
Рассмотрим теперь смысл уравнения 𝑉∇σ=0.
Это уравнение означает, что либо величина ∇σ является скаляром, либо вектор σ есть пространственная вариация от некоторой скалярной функции Ψ.
26. Одно из наиболее замечательных свойств оператора ∇ состоит в том, что при повторном применении он превращается в оператор
∇²
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑²
𝑑𝑥²
+
𝑑²
𝑑𝑦²
+
𝑑²
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
,
который встречается во всех разделах Физики и который мы можем называть Оператором Лапласа.
Сам по себе этот оператор существенно скалярный. Когда он действует на скалярную функцию, получается скаляр, а когда он действует на векторную функцию, получается вектор.
Если провести небольшую сферу радиуса 𝑟 с центром в точке 𝑃 и считать, что 𝑞0 есть значение величины 𝑞 в её центре, a 𝑞 есть значение 𝑞 среднее по всем точкам внутри сферы, то
𝑞
0
-
𝑞
=
1
10
𝑟²∇²𝑞
,
так что значение в центре либо превышает, либо слегка не достигает этого среднего значения в зависимости от того, является ли величина ∇²𝑞 положительной или отрицательной.
Я предлагаю поэтому называть величину ∇²𝑞 концентрацией (сгущением) 𝑞 в точке 𝑃, потому что она характеризует превышение величины 𝑞 в этой точке над её средним значением в окрестности данной точки.
Если 𝑞 - скалярная функция, то метод отыскания её среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать её среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций. В результате, конечно, получится вектор.
ЧАСТЬ I ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ГЛАВА I ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
Электризация трением
27.Опыт I1. Возьмём кусок стекла и кусок смолы, не обладающие каждый никакими электрическими свойствами, потрём их друг о друга и оставим натёртые поверхности в контакте. Пока ещё электрические свойства не будут проявляться. Отделим куски друг от друга. Они начнут взаимно притягиваться.
1 См. Sir W. Thomson, On the Mathematical Theory of Electricity in Equilibrium, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, March, 1848.
Если другой кусок стекла потереть о другой кусок смолы, отделить затем эти куски и подвесить их рядом с первыми двумя кусками стекла и смолы, то можно будет заметить: 1) что оба куска стекла отталкивают друг друга, 2) что каждый кусок стекла притягивается к каждому куску смолы, 3) что оба куска смолы отталкивают друг друга.