𝑑𝑡
+
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
⎞
⎟
⎠
(𝐶₁-𝐶₀)
,
(20)
т.е. величина импульса электродвижущей силы такая же, как если бы ток был однороден по сечению провода.
О среднем геометрическом расстоянии между двумя фигурами на плоскости 1
1Trans. R. S. Edin., 1871-2,
691. При вычислении электромагнитного действия тока, текущего вдоль прямого проводника любого заданного сечения, на другой ток, текущий по параллельному проводнику, сечение которого также задано, мы должны найти интеграл
∬∬
ln 𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
,
где 𝑑𝑥𝑑𝑦 есть элемент площади в первом сечении, 𝑑𝑥'𝑑𝑦' - элемент площади во втором сечении, 𝑟 - расстояние между этими элементами; интегрирование производится вначале по всем элементам первого сечения, а затем по всем элементам второго сечения.
Если мы введём теперь некоторую длину 𝑅, такую, что интеграл равен 𝐴₁𝐴₂ ln 𝑅, где 𝐴₁ и 𝐴₁ - площади двух сечений, то эта длина 𝑅 останется неизменной, какую бы единицу длины мы ни приняли и какую бы систему логарифмов ни использовали.
Если предположить, что сечения разделены на элементы одинакового размера, то логарифм от 𝑅, умноженный на число пар элементов, будет равен сумме логарифмов расстояний между всеми парами элементов. Следовательно, величину R можно рассматривать как среднее геометрическое всех расстояний между парами элементов. Очевидно, что величина 𝑅 должна быть промежуточной между наибольшим и наименьшим значениями 𝑟.
Если 𝑅𝐴 и 𝑅𝐵 - средние геометрические расстояния фигур 𝐴 и 𝐵 до третьей фигуры 𝐶, а 𝑅𝐴+𝐵 - среднее геометрическое расстояние суммы этих двух фигур до 𝐶, то
(𝐴+𝐵) ln 𝑅
𝐴+𝐵
=
𝐴 ln 𝑅
𝐴
+
𝐵 ln 𝑅
𝐵
.
При помощи этого соотношения мы можем найти расстояние 𝑅 для сложной фигуры по известным значениям 𝑅 для её частей.
692. ПРИМЕРЫ
Рис. 41
(1). Пусть 𝑅 - среднее расстояние от точки 𝑂 до отрезка 𝐴𝐵, а 𝑂𝑃 - перпендикуляр к 𝐴𝐵 [рис. 41]; тогда
╱╲
𝐴𝐵(ln 𝑅+1)
=
𝐴𝑃 ln 𝑂𝐴
+
𝑃𝐵 ln 𝑂𝐵
+
𝑂𝑃
𝐴𝑂𝐵
.
Рис. 42
(2). Для двух отрезков (рис. 42) длиной 𝑎 и 𝑏, проведённых в одну сторону из концов отрезка длиной с перпендикулярно ему, имеем
𝑎𝑏
(2ln 𝑅+3)
=
(𝑐²-(𝑎-𝑏)²)
ln√
𝑐²+(𝑎-𝑏)²
+
𝑐²ln 𝑐
+
+
(𝑎²-𝑐²)
ln√
𝑎²+𝑐²
+
(𝑏²-𝑐²)
ln√
𝑏²+𝑐²
-
-
𝑐(𝑎-𝑏)
arctg
𝑎-𝑏
𝑐
+
𝑎𝑐
arctg
𝑎
𝑐
+
𝑏𝑐
arctg
𝑏
𝑐
.
Рис. 43
(3). Для двух отрезков 𝑃𝑄 и 𝑅𝑆 (рис. 43), направления которых пересекаются в точке 𝑂,
𝑃𝑄⋅𝑅𝑆
(2ln 𝑅+3)
=
=
ln 𝑃𝑅
(2𝑂𝑃⋅𝑂𝑅 sin²𝑂-𝑃𝑅² cos 𝑂)
+
ln 𝑄𝑆
(2𝑂𝑄⋅𝑂𝑆 sin²𝑂-𝑄𝑆² cos 𝑂)
-
ln 𝑃𝑆
(2𝑂𝑃⋅𝑂𝑆 sin²𝑂-𝑃𝑆² cos 𝑂)
-
ln 𝑄𝑅
(2𝑂𝑄⋅𝑂𝑅 sin²𝑂-𝑄𝑅² cos 𝑂)
╱╲
╱╲
╱╲
-
sin 𝑂
{
𝑂𝑃²⋅
𝑆𝑃𝑅
-
𝑂𝑄²⋅𝑆𝑄𝑅
+
𝑂𝑅²⋅
𝑃𝑅𝑄
+
𝑂𝑆²⋅
𝑃𝑆𝑄
}.
Рис. 44
(4). Для точки 𝑂 и прямоугольной площадки 𝐴𝐵𝐶𝐷 (рис. 44). Пусть 𝑂𝑃, 𝑂𝑄, 𝑂𝑅, 𝑂𝑆 перпендикулярны к его сторонам, тогда
𝐴𝐵⋅𝐴𝐷(2ln 𝑅+3)
=
2𝑂𝑃⋅𝑂𝑄 ln 𝑂𝐴
+
+
2𝑂𝑄⋅𝑂𝑅 ln 𝑂𝐵
+
2𝑂𝑅⋅𝑂𝑆 ln 𝑂𝐶
+
╱╲
+
2𝑂𝑆⋅𝑂𝑃 ln 𝑂𝐷
+
𝑂𝑃²⋅
𝐷𝑂𝐴
+
╱╲
╱╲
╱╲
+
𝑂𝑄²⋅
𝐴𝑂𝐵
+
𝑂𝑅²⋅
𝐵𝑂𝐶
+
𝑂𝑆²⋅
𝐶𝑂𝐷
.
(5). Нет необходимости в том, чтобы две фигуры были различны, ибо мы можем найти среднее геометрическое расстояние между каждой парой точек одной и той же фигуры; так, для отрезка прямой длины 𝑎
ln
𝑅
=
ln 𝑎
-
3
2
,
или
𝑅
=
𝑎𝑒
-3/2
,
𝑅
=
0,22313𝑎
.
(6). Для прямоугольной площадки, стороны которой равны 𝑎 и 𝑏,
ln 𝑅
=
ln√
𝑎²+𝑏²
-
1
6
𝑎²
𝑏²
ln
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑏²
𝑎²
⎞½
⎟
⎠
-
-
1
6
𝑏²
𝑎²
ln
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑎²
𝑏²
⎞½
⎟
⎠
+
2
3
𝑎
𝑏
arctg
𝑏
𝑎
+
+
2
3
𝑏
𝑎
arctg
𝑎
𝑏
-
25
12
.
Когда этот прямоугольник является квадратом со стороной 𝑎,
ln
𝑅
=
ln 𝑎
+
1
3
ln 2
+
π
3
-
25
12
,
𝑅
=
0,44705𝑎
.
(7). Среднее геометрическое расстояние между точкой и линией окружности равно наибольшей из двух величин: величины расстояния от данной точки до центра окружности и радиуса этой окружности.
(8). Таким образом, среднее геометрическое расстояние любой фигуры от некоторого кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равно её среднегеометрическому расстоянию от центра кольца, если эта фигура целиком расположена вне кольца; если же она вся лежит внутри кольца, то
ln 𝑅
=
𝑎₁²ln 𝑎₁-𝑎₂²ln 𝑎₂
𝑎₁²-𝑎₂²
-
1
2
,
где 𝑎₁ и 𝑎₂ - внешний и внутренний радиусы кольца. В этом случае 𝑅 не зависит от формы фигуры, находящейся внутри кольца.
(9). Среднее геометрическое расстояние всех пар точек в кольце находится из уравнения
ln 𝑅
=
ln 𝑎₁
-
𝑎₂⁴
(𝑎₁²-𝑎₂²)²
ln
𝑎₁
𝑎₂
+
1
4
3𝑎₂²-𝑎₁²
𝑎₁²-𝑎₂²
.
Для круглой площадки радиуса а это выражение принимает вид
ln
𝑅
=
ln 𝑎
-
1
4
,
или
𝑅
=
𝑎𝑒
-1/4
,
𝑅
=
0,7788𝑎
.
Для линии окружности 𝑅=𝑎.