∫
cos α
𝑃₀
𝑑μ
+…+
𝑧𝑖
𝑐𝑖
1
∫
cos α
𝑃
𝑖
𝑑μ
+…
⎫
⎬
⎭
,
(1)
или
𝑉
=
2π𝑐
𝑐²
𝑧
⎧
⎨
⎩
1
∫
cos α
𝑃₀
𝑑μ
+…+
𝑐𝑖
𝑧𝑖
1
∫
cos α
𝑃
𝑖
𝑑μ
+…
⎫
⎬
⎭
.
(1')
Для 𝑃𝑖 имеем характеристическое уравнение
𝑖(𝑖+1)
𝑃
𝑖
+
𝑑
𝑑μ
⎡
⎢
⎣
(1-μ²)
𝑑𝑃𝑖
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
=
0.
Следовательно,
1
∫
μ
𝑃
𝑖
𝑑μ
=
1-μ²
𝑖(𝑖+1)
𝑑𝑃𝑖
𝑑μ
.
(2)
Это выражение утрачивает смысл при 𝑖=0, но поскольку 𝑃₀, то
1
∫
μ
𝑃
𝑖
𝑑μ
=
1-μ
.
(3)
Так как функция 𝑑𝑃𝑖/𝑑μ возникает на каждом этапе этого исследования, мы будем обозначать её сокращённо через 𝑃'𝑖. Величины 𝑃'𝑖, соответствующие нескольким значениям 𝑖, даны в п. 698.
Теперь мы можем написать значение 𝑉 в произвольной точке 𝑅, на оси или не на оси, путём замены 𝑟 на 𝑧 и умножения каждого из членов на зональную гармонику по θ того же порядка. Действительно, потенциал 𝑉 должен допускать разложение в ряд по зональным гармоникам по θ с соответствующими коэффициентами. При θ=0 каждая из зональных гармоник обращается в единицу, и точка 𝑅 лежит на оси. Следовательно, эти коэффициенты являются членами разложения 𝑉 для точки, расположенной на оси. Таким образом, мы получаем два ряда:
𝑉
=
2π𝑐
⎧
⎨
⎩
1-cos α
+…+
sin²α
𝑖(𝑖+1)
𝑟𝑖
𝑐𝑖
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
(4)
или
𝑉'
=
2π
𝑐²
𝑞
⎧
⎨
⎩
1-cos α
+…+
sin²α
𝑖(𝑖+1)
𝑐𝑖
𝑟𝑖
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
(4')
695. Теперь мы можем, согласно методу п. 670, найти величину потенциала контура ω из уравнения
ω
=-
1
𝑐
𝑑
𝑑𝑟
(𝑉𝑟)
.
(5)
Отсюда получаем два ряда:
ω
=
-2π
⎧
⎨
⎩
1-cos α
+…+
sin²α
𝑖
𝑟𝑖
𝑐𝑖
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
(6)
или
ω'
=
2π
sin²α
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐²
𝑟²
𝑃'₁(α)
𝑃₁(θ)
+…+
+
1
𝑖+1
𝑐𝑖+1
𝑟𝑖+1
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
(6')
Ряд (6) сходится при всех значениях 𝑟 меньших 𝑐, а ряд (6') сходится для всех значений 𝑟 больших 𝑐. На поверхности сферы, где 𝑟=𝑐, оба ряда дают одно и то же значение ω, если θ превышает α, т.е. для точек, не занятых магнитной оболочкой; если же величина θ меньше α, т.е. для точек, находящихся на магнитной оболочке,
ω'
=
ω
+
4π
.
(7)
Если принять центр окружности 𝑂 за начало координат, мы должны положить α=π/2, и тогда ряды станут такими:
ω
=
-2π
⎧
⎨
⎩
1+
𝑟
𝑐
𝑃₁(θ)
+…+
+
(-)
𝑠
1⋅3…(2𝑠-1)
2⋅4…2𝑠
𝑟2𝑠+1
𝑐2𝑠+1
𝑃
2𝑠+1
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
(8)
ω
=
+2π
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐²
𝑟²
𝑃₁(θ)
+…+
+
(-)
𝑠
1⋅3…(2𝑠+1)
2⋅4…(2𝑠+2)
𝑐2𝑠+2
𝑟2𝑠+2
𝑃
2𝑠+1
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
(9)
где все гармоники являются гармониками нечётного порядка 1.
1 Величина телесного угла, опирающегося на окружность, может быть получена более непосредственным путём, а именно:
Телесный угол, опирающийся на окружность, с вершиной в точке 𝑍, находящейся на оси, как легко показать, равен ω = 2π
⎧
⎪
⎩ 1-
𝑧-𝑐 cos α
𝐻𝑍
⎫
⎪
⎭ .
Разлагая это выражение по сферическим гармоникам, находим ω = 2π
⎧
⎨
⎩ (cos α+1) + (𝑃₁(α) cos α - 𝑃₀(α))
𝑧
𝑐 +…+ + (𝑃₁(α) cos α - 𝑃𝑖-1(α))
𝑧𝑖
𝑐𝑖 +…
⎫
⎬
⎭ ,
эти разложения ω справедливы для точек на оси при 𝑧 меньших и больших 𝑐 соответственно.
Легко показать, что эти результаты совпадают с полученными в тексте.
О потенциальной энергии двух круговых токов
696. Предположим вначале, что две магнитные оболочки, эквивалентные этим токам, представляют собой участки двух концентричных сфер, имеющих радиусы 𝑐₁ и 𝑐₂, причём 𝑐₁ больше 𝑐₂ (рис. 47). Предположим также, что оси обеих оболочек совпадают и что α₁ и α₂ - это углы с вершинами в центре 𝐶, опирающиеся на радиус первой оболочки и на радиус второй оболочки соответственно.
Рис. 47
Пусть ω₁ - потенциал, создаваемый первой оболочкой в произвольной точке, находящейся на этой же оболочке; тогда работа, необходимая для удаления второй оболочки на бесконечное расстояние, выражается величиной следующего поверхностного интеграла:
𝑀
=-
∬
𝑑ω₁
𝑑𝑟
𝑑𝑆
,
распространённого на всю вторую оболочку. Следовательно,
𝑀
=
1
∫
μ₂
𝑑ω₁
𝑑𝑟
2π𝑐₂²
𝑑μ₂
,
=
4π²
sin²α₁
𝑐₂²
⎧
⎨
⎩
1
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
1
∫
μ₂
𝑃₁(θ)
μ₂
+…+
+
𝑐₂𝑖-1
𝑐𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)