1
∫
μ₂
𝑃
𝑖
(θ)
μ₂
+…
⎫
⎬
⎭
,
или, подставляя значения интегралов из уравнения (2) п. 694,
𝑀
=
4π²
sin²α₁
sin²α₂
𝑐₂
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐₂
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
𝑃'₁(α₂)
+…+
+
1
𝑖(𝑖+1)
𝑐₂𝑖
𝑐₁𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
𝑃'
𝑖
(α₂)
+…
⎫
⎬
⎭
.
697. Предположим теперь, что ось одной из оболочек повёрнута относительно точки 𝐶, взятой за центр, и составляет с осью другой оболочки угол θ (рис. 48).
Рис. 48
Нам нужно только ввести в выражение для 𝑀 зональные гармоники по θ, и мы найдём более общую формулу для 𝑀:
𝑀
=
4π²
sin²α₁
sin²α₂
𝑐₂²
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐₂
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
𝑃'₁(α₂)
𝑃₁(θ)
+…+
+
1
𝑖(𝑖+1)
𝑐₂𝑖
𝑐₁𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
𝑃'
𝑖
(α₂)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
Это и есть величина потенциальной энергии, обусловленной взаимным действием двух круговых токов единичной силы, расположенных так, что нормали, проходящие через центры кругов, пересекаются друг с другом в точке 𝐶 под углом θ, причём расстояния от периметров окружностей до точки 𝐶 равны 𝑐₁ и 𝑐₂, и 𝑐₁ больше 𝑐₂.
Если какое-то смещение 𝑑𝑥 меняет значение 𝑀, то сила, действующая в направлении этого смещения, есть 𝑋=𝑑𝑀/𝑑𝑥.
Например, если ось одной из оболочек может свободно вращаться вокруг точки 𝐶, вызывая изменение θ, то момент силы, стремящийся увеличить θ, равен Θ, где Θ=𝑑𝑀/𝑑θ.
Выполняя дифференцирование и помня, что
𝑑𝑃𝑖(θ)
𝑑θ
=-
sin θ
𝑃'
𝑖
(θ)
где 𝑃'𝑖 имеет тот же смысл, что и в предыдущих уравнениях, получим
Θ
=
-4π²
sin²α₁
sin²α₂
sin θ
𝑐₂
×
×
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐₂
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
𝑃'₁(α₂)
𝑃'₁(θ)
+…+
+
1
𝑖(𝑖+1)
𝑐₂𝑖
𝑐₁𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
𝑃'
𝑖
(α₂)
𝑃'
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
698. В связи с тем что в этих вычислениях часто встречаются величины 𝑃'𝑖, может оказаться полезной следующая таблица выражений для функций 𝑃'𝑖 первых шести порядков; в этой таблице вместо cos θ фигурирует μ и ν вместо sin θ:
𝑃'₁
=
1,
𝑃'₂
=
3μ,
𝑃'₃
=
3
2
(5μ²-1)
=
6
⎛
⎜
⎝
μ²
-
1
4
ν²
⎞
⎟
⎠
,
𝑃'₄
=
5
2
μ(7μ²-3)
=
10μ
⎛
⎜
⎝
μ²
-
3
4
ν²
⎞
⎟
⎠
,
𝑃'₅
=
15
8
(21μ⁴-14μ²+1)
=
15
⎛
⎜
⎝
μ⁴
-
3
2
μ²ν²
+
1
8
ν⁴
⎞
⎟
⎠
,
𝑃'₆
=
21
8
μ(33μ⁴-33μ²+5)
=
21μ
⎛
⎜
⎝
μ⁴
-
5
2
μ²ν²
+
5
8
ν⁴
⎞
⎟
⎠
.
699. Иногда удобно представить ряды для 𝑀 как функции некоторых «линейных» величин следующим образом.
Пусть 𝑎 - радиус малого контура, 𝑏 - расстояние от начала координат до плоскости контура и 𝑐=√𝑎²+𝑏².
Пусть 𝐴 𝐵 и 𝐶 - соответствующие величины для большого контура.
Тогда ряды для 𝑀 могут быть записаны в виде
𝑀
=
1⋅2⋅π²
𝐴²
𝐶³
𝑎²
cos θ
+
2⋅3⋅π²
𝐴²𝐵
𝐶⁵
𝑎²𝑏
(cos²θ-½sin²θ)
+
3⋅4⋅π²
𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)
𝐶⁷
𝑎²(𝑏²-¼𝑎²)
×
×
(cos³θ
-
3
2
sin²θcos θ)
+
…
.
Если положить θ=0, то две окружности будут параллельными и будут иметь общую ось. Для того чтобы определить притяжение между ними, мы можем продифференцировать 𝑀 по 𝑏. В результате найдём
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
π²
𝐴²𝑎²
𝐶⁴
⎧
⎨
⎩
2⋅3
𝐵
𝐶
+
2⋅3⋅4
𝐵²-¼𝐴²
𝐶³
𝑏
+…
⎫
⎬
⎭
.
700. Чтобы вычислить действие катушки прямоугольного сечения, мы должны найденное выражение проинтегрировать по радиусу катушки 𝐴 и по расстоянию 𝐵 от её плоскости до начала координат, распространив интегрирование на всю ширину и высоту катушки.
В некоторых случаях непосредственное интегрирование наиболее удобно, однако существуют и другие случаи, когда к более полезным результатам приводит следующий метод аппроксимации.
Пусть 𝑃 - произвольная функция 𝑥 и 𝑦, требуется найти значение 𝑃, где
𝑃
𝑥𝑦
=
+½𝑥
∫
-½𝑥
+½𝑦
∫
-½𝑦
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
В этом выражении 𝑃 есть среднее значение 𝑃 внутри пределов интегрирования.
Обозначим через 𝑃₀ значение 𝑃 при 𝑥=0 и 𝑦=0, тогда, разлагая 𝑃 по теореме Тейлора, получим
𝑃
=
𝑃₀
+
𝑥
𝑑𝑃₀
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑑𝑃₀
𝑑𝑦
+
1
2
𝑥²
𝑑²𝑃₀
𝑑𝑥²
+…
.
Проинтегрировав это выражение в прежних пределах и разделив результат на 𝑥𝑦, мы получим для 𝑃:
𝑃
=
𝑃₀
+
1
24
⎛
⎜
⎝
𝑥²
𝑑²𝑃₀
𝑑𝑥²
+
𝑦²
𝑑²𝑃₀
𝑑𝑦²
⎞
⎟
⎠
+
+
1
1920
⎛
⎜
⎝
𝑥⁴
𝑑⁴𝑃₀
𝑑𝑥⁴
+
𝑦⁴
𝑑⁴𝑃₀
𝑑𝑦⁴
⎞
⎟
⎠
+
1
576
𝑥²𝑦
𝑑⁴𝑃₀
𝑑𝑥²𝑑𝑦²
+…
.
Рассмотрим катушку, у которой внешний и внутренний радиусы соответственно равны 𝐴+ξ/2 и 𝐴-ξ/2, а расстояние плоскостей намотки до начала координат лежит в пределах от 𝐵+η/2 до 𝐵-η/2. В этом случае ширина катушки равна η, её глубина - ξ; пусть эти величины малы по сравнению с 𝐴 или 𝐶.