Для того чтобы подсчитать магнитное действие данной катушки, мы можем выписать последовательные члены рядов (6) и (6') п. 695 в следующем виде:
𝐺₀
=
π
𝐵
𝐶
⎧
⎨
⎩
1+
1
24
2𝐴²-𝐵²
𝐶⁴
ξ²
-
1
8
𝐴²
𝐶⁴
η²
+…
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₁
=
2π
𝐴²
𝐶³
⎧
⎨
⎩
1+
1
24
⎛
⎜
⎝
2
𝐴²
-15
𝐵²
𝐶⁴
⎞
⎟
⎠
ξ
+
1
8
4𝐵²-𝐴²
𝐶⁴
η²
+…
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₂
=
3π
𝐴²𝐵
𝐶⁵
⎧
⎨
⎩
1+
1
24
⎛
⎜
⎝
1
𝐴²
-
25
𝐶²
+
35𝐴²
𝐶⁴
⎞
⎟
⎠
ξ²
+
+
5
24
4𝐵²-𝐴²
𝐶⁴
η²
+…
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₃
=
4π
𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)
𝐶⁷
+
+
π
24
ξ²
𝐶¹¹
{
𝐶⁴(8𝐵²-12𝐴²)
+
35𝐴²𝐵²(5𝐴²-𝐵²)
}+
+
5
8
πη²
𝐶¹¹
𝐴²{𝐴⁴-12𝐴²𝐵²+𝐵⁴}
,
…
, … ,
𝑔₁
=
π𝑎²
+
1
12
πξ²
,
𝑔₂
=
2π𝑎²𝑏
+
1
6
π𝑏ξ²
,
𝑔₃
=
3π𝑎²
(𝑏²-¼𝑎²)
+
π
8
ξ²(2𝑏²-3𝑎²)
+
π
4
η²
𝑎²
,
…
,
… .
Величины 𝐺₀, 𝐺₁, 𝐺₂, … относятся к большой катушке. Значение ω для точек, где 𝑟 меньше 𝐶, равно
ω
=-
2π
+
2𝐺₀
-
𝐺₁𝑟𝑃₁(θ)
-
𝐺₂𝑟²𝑃₂(θ)
-
… .
Величины 𝑔₁, 𝑔₂, … относятся к малой катушке. Значения ω' в точках, где 𝑟 больше 𝐶, равны
ω'
=
𝑔₁
1
𝑟²
𝑃₁(θ)
+
𝑔₂
1
𝑟³
𝑃₂(θ)
+
… .
Потенциал одной из этих катушек по отношению к другой в том случае, когда общий ток, протекающий через сечение каждой катушки, равен единице, следующий
𝑀
=
𝐺₁𝑔₁𝑃₁(θ)
+
𝐺₂𝑔₂𝑃₂(θ)
+
… .
Как найти 𝑀 через эллиптические интегралы
701. Когда расстояние между периметрами двух кругов соизмеримо с радиусом меньшего из них, приведённые здесь ряды не сходятся достаточно быстро. В любом случае, однако, мы можем найти выражение 𝑀 для двух параллельных окружностей через эллиптические интегралы.
Действительно, пусть 𝑏 - длина линии, соединяющей центры окружностей, пусть эта линия перпендикулярна плоскостям обеих окружностей и пусть 𝐴 и 𝑎 - радиусы окружностей; тогда
𝑀
=
∬
cos ε
𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
,
где интегрирование проводится по обеим замкнутым кривым.
В этом случае
𝑟²
=
𝐴²
+
𝑎²
+
𝑏²
-
2𝐴𝑎
cos(φ-φ')
,
ε
=
φ-φ'
,
𝑑𝑠
=
𝑎
𝑑φ
,
𝑑𝑠'
=
𝐴
𝑑φ'
,
𝑀
=
2π
∫
0
2π
∫
0
𝐴𝑎 cos(φ-φ')𝑑φ𝑑φ'
√𝐴²+𝑎²+𝑏²-2𝐴𝑎 cos(φ-φ')
=
=
-4π
√
𝐴𝑎
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑐
-
2
𝑐
⎞
⎟
⎠
𝐹
+
2
𝑐
𝐸
⎫
⎬
⎭
,
где
𝑐
=
2√𝐴𝑎
√(𝐴+𝑎)²+𝑏²
,
а 𝐹 и 𝐸 - полные эллиптические интегралы модуля 𝑐.
Отсюда, помня, что
𝑑𝐹
𝑑𝑐
=
1
𝑐(1-𝑐²)
{𝐸-(1-𝑐²)𝐹}
,
𝑑𝐸
𝑑𝑐
=
1
𝑐
(𝐸-𝐹)
,
и что 𝑐 есть функция 𝑏, мы находим
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
π
√𝐴𝑎
𝑏𝑐
1-𝑐²
{
(2-𝑐²)𝐸
-
2(1-𝑐²)𝐹
}.
Если обозначить через 𝑟₁ и 𝑟₂ наибольшее и наименьшее значения 𝑟, т.е.
𝑟₁²=(𝐴+𝑎)²+𝑏²
,
𝑟₂²=(𝐴-𝑎)²+𝑏²
,
и через γ - угол, у которого cos γ=𝑟₂/𝑟₁, то
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
-π
𝑏 sin γ
√𝐴𝑎
{
2𝐹
γ
-
(1+sec²γ)𝐸
γ
},
где 𝐹γ и 𝐸γ - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, модули которых равны sin γ.
Если 𝐴=𝑎, то ctg γ=𝑏/(2𝑎) и
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
-2π
cos γ
{
2𝐹
γ
-
(1+sec²γ)𝐸
γ
}.
Величина -𝑑𝑀/𝑑𝑏 характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.
Ввиду важности величины 𝑀 для электромагнитных вычислений значения ln (𝑀/4π√𝐴𝑎), являющегося функцией 𝑏 и, следовательно, только γ, протабулированы в интервале углов γ от 60 до 90 градусов через 6'.
Второе выражение для 𝑀
Другое выражение для 𝑀, иногда более удобное, получается, если положить 𝑐₁=(𝑟₁-𝑟₂)/(𝑟₁+𝑟₂); в этом случае
𝑀
=
8π
√
𝐴𝑎
1
√𝑐₁
{
𝐹(𝑐₁)
+
𝐸(𝑐₁)
}.
Как проводить линии магнитной силы для кругового тока
702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина 𝑀 постоянна.
Вычислим величину
𝐾
θ
=
sin θ
(𝐹sin θ-𝐸sin θ)²
из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений θ.
Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат 𝑥 и 𝑧; построим окружность с центром в точке 𝑥=(𝑎/2)(sin θ+cosec θ) с радиусом (𝑎/2)(sin θ-cosec θ). Для всех точек этой окружности величина 𝑐₁ будет равна, sin θ. Следовательно, для всех точек этой окружности
𝑀
=
8π
√
𝐴𝑎
1
√𝐾θ
,
𝐴
=
1
64π²
𝑀²𝐾θ
𝑎
.
Теперь 𝐴 является тем значением 𝑥, для которого была найдена величина 𝑀. Таким образом, если мы проведём линию, на которой 𝑥=𝐴, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение 𝑀.