Задавая последовательно значения величины 𝑀, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для 𝐴 получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных 𝑧, на которых 𝑥 принимает найденные значения 𝐴, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.
Если положить 𝑚=8π𝑎 и 𝑀=𝑛𝑚, то 𝐴=𝑥=𝑛²𝐾θ𝑎.. Величину 𝑛 мы можем назвать индексом линии силы.
Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» 2.
2Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).
703. Если положение окружности, ось которой известна, считать заданным через расстояние 𝑏 от её центра до какой-либо фиксированной точки на оси и через её радиус 𝑎, то коэффициент индукции 𝑀 окружности по отношению к произвольной системе, состоящей из магнитов или токов, подчиняется следующему уравнению:
𝑑²𝑀
𝑑𝑎²
+
𝑑²𝑀
𝑑𝑏²
-
1
𝑎
𝑑𝑀
𝑑𝑎
=
0.
(1)
Чтобы доказать это, посмотрим, какое число линий магнитной силы будет пересекать окружность, если менять 𝑎 или 𝑏.
(1). Пусть а становится равным 𝑎+δ𝑎, а 𝑏 остаётся постоянным. При такой вариации окружность, расширяясь, прочертит в своей плоскости кольцевую площадку шириной δ𝑎.
Если через 𝑉 обозначить магнитный потенциал в произвольной точке, а ось 𝑦 направить параллельно оси окружности, то магнитная сила, перпендикулярная плоскости кольца, будет равна -𝑑𝑉/𝑑𝑦.
Для того чтобы найти поток магнитной индукции через эту кольцевую поверхность, мы должны взять интеграл
-
2π
∫
0
𝑎δ𝑎
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
,
где θ есть угловое положение точки на кольце.
Но эта величина представляет собой вариацию 𝑀, обусловленную изменением 𝑎, т.е. (𝑑𝑀/𝑑𝑎)δ𝑎. Отсюда
𝑑𝑀
𝑑𝑎
=-
2π
∫
0
𝑎
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
.
(2)
(2). Пусть 𝑏 принимает значение 𝑏+δ𝑏, а 𝑎 остаётся постоянным. При такой вариации окружность прочерчивает цилиндрическую поверхность радиуса 𝑎 длиной δ𝑏.
Магнитная сила, перпендикулярная к этой поверхности, равна в любой точке величине 𝑑𝑉/𝑑𝑟, где 𝑟 - расстояние от оси.
Отсюда
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
2π
∫
0
𝑎
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑θ
.
(3)
Дифференцируя уравнение (2) по 𝑎 и уравнение (3) по 𝑏, получаем
𝑑²𝑀
𝑑𝑎²
=-
2π
∫
0
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
-
2π
∫
0
𝑎
𝑑²𝑉
𝑑𝑟𝑑𝑦
𝑑θ
,
(4)
𝑑²𝑀
𝑑𝑏²
=
2π
∫
0
𝑎
𝑑²𝑉
𝑑𝑟𝑑𝑦
𝑑θ
.
(5)
Следовательно,
𝑑²𝑀
𝑑𝑎²
+
𝑑²𝑀
𝑑𝑏²
=
-
2π
∫
0
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
=
1
𝑎
𝑑𝑀
𝑑𝑎
,
согласно (2).
(6)
Перенося последний член в левую часть, мы получаем уравнение (1).
Коэффициент индукции двух параллельных окружностей в случае, когда расстояние между их дугами мало по сравнению с радиусами обеих окружностей
704. Для этого случая мы могли бы получить величину 𝑀 из разложения приведённых выше эллиптических интегралов при близких к единице значениях их модуля. Однако метод, который последует далее, представляет собой более непосредственное применение электрических принципов.
Первое приближение
Пусть радиусы окружностей равны 𝑎 и 𝑎+𝑐, а расстояние между их плоскостями равно 𝑏; тогда кратчайшее расстояние между дугами окружностей равно 𝑟=√𝑐²+𝑏².
Мы должны найти поток магнитной индукции сквозь одну из окружностей, обусловленный единичным током, протекающим по другой окружности.
Мы начнём с предположения, что обе окружности лежат в одной плоскости. Рассмотрим малый элемент δ𝑠 окружности, радиус которой равен 𝑎+𝑐. В точке, находящейся в плоскости окружности на расстоянии ρ от середины δ𝑠 и в направлении, образующим с направлением δ𝑠 угол θ, магнитная сила, обусловленная элементом δ𝑠, перпендикулярна плоскости окружности и равна (1/ρ²) sin θδ𝑠.
Чтобы вычислить поверхностный интеграл от этой силы по поверхности, лежащей внутри окружности радиуса 𝑎, мы должны найти значение интеграла
2δ𝑠
π/2
∫
θ₁
𝑟₁
∫
𝑟₂
sin θ
ρ
𝑑θ
𝑑ρ
,
где 𝑟₁ и 𝑟₂ являются корнями уравнения
𝑟²
-
2(𝑎+𝑐)
sin θ𝑟
+
𝑐²
+
2𝑎𝑐
=
0,
а именно
𝑟₁
=
(𝑎+𝑐)
sin θ
+
√
(𝑎+𝑐)²sin²θ-𝑐²-2𝑎𝑐
,
𝑟₂
=
(𝑎+𝑐)
sin θ
-
√
(𝑎+𝑐)²sin²θ-𝑐²-2𝑎𝑐
,
и
sin²θ₁
=
𝑐²+𝑎𝑐
(𝑐+𝑎)²
.
Когда 𝑐 мало по сравнению с 𝑎, мы можем положить
𝑟₁
=
2𝑎sin θ,
𝑟₂
=
𝑐/sin θ.
Интегрируя по ρ, имеем
2δ𝑠
½π
∫
θ₁
ln
⎛
⎜
⎝
2𝑎
𝑐
sin²θ
⎞
⎟
⎠
⋅
sinθ
𝑑θ
=
=
2δ𝑠
⎡
⎢
⎣
cosθ
⎧
⎨
⎩
2-ln
⎛
⎜
⎝
2𝑎
𝑐
sin²θ
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
+
2ln tg
θ
2
⎤
⎥
⎦
½π
θ₁
=
=
2δ𝑠
⎛
⎜
⎝
ln
8𝑎
𝑐
-2
⎞
⎟
⎠
(приближённо).
Таким образом, для всей индукции получаем
𝑀
𝑎𝑐
=
4π𝑎
⎛
⎜
⎝
ln
8𝑎
𝑐
-2
⎞
⎟
⎠
.
Так как магнитная сила в произвольной точке, расстояние от которой до искривлённого провода мало по сравнению с его радиусом кривизны, приблизительно такая же, что и магнитная сила прямого провода, мы можем (п. 684) подсчитать разность между потоком индукции через окружность радиуса 𝑎-𝑐 и окружность 𝐴 по формуле
𝑀
𝑎𝐴
-
𝑀
𝑎𝑐
=
4π𝑎
{ln 𝑐-ln 𝑟}.
Откуда приближённо при условии, что радиус 𝑟 мал по сравнению с 𝑎, находим величину потока индукции между 𝐴 и 𝑎: