𝑀
𝐴𝑎
=
4π𝑎
(ln 8𝑎-ln 𝑟-2).
705. Поскольку взаимная индукция между двумя витками одной и той же катушки представляет собой весьма важную величину для расчётов экспериментальных результатов, я опишу сейчас метод, с помощью которого приближение к 𝑀 для данного случая может быть осуществлено с любой требуемой степенью точности.
Мы будем предполагать, что величина 𝑀 представлена в виде
𝑀
=
4π
⎧
⎨
⎩
𝐴 ln
8𝑎
𝑟
+
𝐵
⎫
⎬
⎭
,
где
𝐴
=
𝑎
+
𝐴₁𝑥
+
𝐴₂
𝑥²
𝑎
+
𝐴₂'
𝑦²
𝑎
𝐴₃
𝑥³
𝑎²
+
𝐴₃'
𝑥𝑦²
𝑎²
+…
+
𝑎
-(𝑛-1)
{
𝑥
𝑛
𝐴
𝑛
+
𝑥
𝑛-2
𝑥²𝐴'
𝑛
+
𝑥
𝑛-4
𝑥⁴𝐴''
𝑛
+…}
+…
и
𝐵
=
-2𝑎
+
𝐵₁𝑥
+
𝐵₂
𝑥₂
𝑎
+
𝐵₂'
𝑦²
𝑎
+
𝐵₃
𝑥³
𝑎²
+
𝐵₃'
𝑥𝑦²
𝑎²
+… ,
𝑎 и 𝑎+𝑥 - радиусы окружностей, а 𝑦 - расстояние между их плоскостями.
Нам нужно определить значения коэффициентов 𝐴 и 𝐵. Очевидно, что они могут содержать только чётные степени 𝑦, потому что при изменении знака 𝑦 величина 𝑀 должна остаться неизменной.
Другой набор условий мы получаем из свойства взаимности коэффициента индукции, который остаётся тем же самым независимо от того, какую из окружностей мы берём в качестве первичной. Поэтому величина 𝑀 должна остаться той же самой, когда в приведённых выше выражениях мы подставим 𝑎+𝑥 вместо 𝑎 и -𝑥 вместо 𝑥.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых сочетаниях 𝑥 и 𝑦, мы находим таким способом следующие условия взаимности:
𝐴₁
=
1-𝐴₁
,
𝐵₁
=
1-2-𝐵₁
,
𝐴₃
=
-𝐴₂-𝐴₃
,
𝐵₃
=
1
3
-
1
2
𝐴₁+𝐴₂-𝐵₂-𝐵₃
,
𝐴₃'
=
-𝐴₂'-𝐴₃'
,
𝐵₃'
=
𝐴₂'-𝐵₂'-𝐵₃'
;
(-)
𝑛
𝐴
𝑛
=
𝐴₂
+
(𝑛-2)𝐴₃
+
(𝑛-2)(𝑛-3)
1⋅2
𝐴₄
+…+
𝐴
𝑛
,
(-)
𝑛
𝐵
𝑛
=-
1
𝑛
+
1
𝑛-1
𝐴₁
-
1
𝑛-2
𝐴₂
+…+
(-)
𝑛
𝐴
𝑛-1
+
+
𝐵₂
+
(𝑛-2)𝐵₃
+
(𝑛-2)(𝑛-3)
1⋅2
𝐵₄
+…+
𝐵
𝑛
.
Из общего уравнения для 𝑀, п. 703,
𝑑²𝑀
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑀
𝑑𝑦²
-
1
𝑎+𝑥
𝑑𝑀
𝑑𝑥
=
0
мы получаем другой ряд условий:
2𝐴₂
+
2𝐴'₂
=
𝐴₁
,
2𝐴₂
+
2𝐴'₂
+
6𝐴₃
+
2𝐴'₃
=
2𝐴₂
;
𝑛(𝑛-1)𝐴
𝑛
+
(𝑛-1)𝑛𝐴
𝑛+1
+
1⋅2𝐴'
𝑛
+
1⋅2𝐴'
𝑛+1
=
𝑛𝐴
𝑛
,
(𝑛-2)(𝑛-3)𝐴'
𝑛
+
(𝑛-1)(𝑛-2)𝐴'
𝑛+1
+
3⋅4𝐴''
𝑛
+
3⋅4𝐴''
𝑛+1
=
=
(𝑛-2)𝐴'
𝑛
, …;
4𝐴₂
+
𝐴₁
=
2𝐵₂
+
2𝐵'₂
-
𝐵₁
=
4𝐴'₂
,
6𝐴₃
+
3
𝐴₂
=
2𝐵'₂
+
6𝐵₃
+
2
𝐵'₃
=
6𝐴'₃
+
3𝐴'₂
,
(2𝑛-1)𝐴
𝑛
+
(2𝑛+2)𝐴
𝑛+1
=
(2𝑛-1)𝐴'
𝑛
+
(2𝑛+2)𝐴'
𝑛+1
=
=
𝑛(𝑛-2)𝐵
𝑛
+
(𝑛+1)𝑛𝐵
𝑛+1
+
1⋅2𝐵'
𝑛
+
1⋅2𝐵'
𝑛+1
.
Решая эти уравнения и подставляя значения коэффициентов, мы приводим ряд для 𝑀 к виду
𝑀
=
4π𝑎
ln
8𝑎
𝑟
⎧
⎨
⎩
1+
1
2
𝑥
𝑎
+
𝑥²+3𝑦²
16𝑎²
-
32𝑥³+3𝑥𝑦²
32𝑎³
+…
⎫
⎬
⎭
+
+
4π𝑎
⎧
⎨
⎩
-2-
1
2
𝑥
𝑎
+
3𝑥²-𝑦²
16𝑎²
-
𝑥³-6𝑥𝑦²
48𝑎³
+…
⎫
⎬
⎭
.
Как найти форму катушки, у которой при заданной длине и толщине провода коэффициент самоиндукции максимален
706. Опуская поправки, приведённые в п. 705, мы в соответствии с результата» ми п. 693 находим
𝐿
=
4π𝑛²𝑎
⎛
⎜
⎝
ln
8𝑎
𝑅
-2
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑛 - число витков провода, 𝑎 - средний радиус катушки, 𝑅 - среднегеометрическое расстояние поперечного сечения катушки от самого себя, см. п. 691. Если это сечение всюду подобно самому себе, то расстояние 𝑅 пропорционально его линейным размерам, а 𝑛 меняется как 𝑅².
Так как полная длина провода равна 2π𝑎𝑛, то а меняется обратно пропорционально 𝑛. Следовательно,
𝑑𝑛
𝑛
=2
𝑑𝑅
𝑅
и
𝑑𝑎
𝑎
=-2
𝑑𝑅
𝑅
,
и мы находим условие, при котором 𝐿 может иметь максимум:
ln
8𝑎
𝑅
=
7
2
.
Если катушка имеет круговое поперечное сечение радиуса 𝑐, то, согласно п. 692,
ln
𝑅
𝑐
=-
1
4
,
и
ln
8𝑎
𝑐
=
13
4
,
откуда
𝑎
=
3,22𝑐
,
или, для того чтобы такая катушка имела максимальный коэффициент самоиндукции, её средний радиус должен превышать радиус поперечного сечения катушки в 3,22 раза. Этот результат был получен Гауссом 3.
3Werke, Göttingen edition, 1867, Bd. V, p. 622.
Если каркас, на который наматывается катушка, имеет квадратное поперечное сечение, средний диаметр катушки должен в 3,7 раз превышать сторону квадрата.