,
откуда
γ
=
𝐻
(𝐺₁-…)
sin δ
.
Поскольку ток измеряется через синус угла отклонения, то прибор, используемый в таком режиме, называется синус-гальванометром.
Метод синусов может быть применён лишь в том случае, когда ток меняется настолько плавно, что его можно считать постоянным в течение всего времени регулировки прибора и установления магнита в равновесии.
711. Теперь нам надо рассмотреть устройство катушек эталонного гальванометра.
Простейшим является гальванометр, в котором имеется лишь одна катушка, а в центре её подвешен магнит.
Пусть 𝐴 - средний радиус катушки, ξ - её высота, η - ширина, а 𝑛 - число витков; тогда значения коэффициентов равны
𝐺₁
=
2π𝑛
𝐴
⎧
⎨
⎩
1+
1
12
ξ²
𝐴²
-
1
8
η²
𝐴²
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₂
=
0,
𝐺₃
=
-
π𝑛
𝐴³
⎧
⎨
⎩
1+
1
2
ξ²
𝐴²
-
5
8
η²
𝐴²
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₄
=
0
, …
Основная поправка возникает из-за 𝐺₃. Ряд 𝐺₁𝑔₁+𝐺₃𝑔₃𝑃₃'(θ) приближённо принимает вид
𝐺₁𝑔₁
⎛
⎜
⎝
1-3
1
𝐴²
𝐺₃
𝐺₁
⎛
⎜
⎝
cos²θ
-
1
4
sin²θ
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
.
Когда магнит намагничен однородно и θ=0, поправочный множитель сильнее всего отличается от единицы. В этом случае он равен 1-3(𝑙²/𝐴²). При tg θ=2, т.е. когда угол отклонения равен arctg ½, или 26°34', этот множитель обращается в нуль. Поэтому некоторые экспериментаторы проводят свои опыты так, чтобы сделать наблюдаемое отклонение максимально близким к этому углу. Однако самый лучший метод состоит в использовании такого короткого по сравнению с радиусом катушки магнита, что можно вообще пренебречь всеми поправками.
Подвешенный магнит тщательно устанавливается так, чтобы центр его как можно точнее совпадал с центром катушки. Если, однако, регулировка несовершенна и координаты центра магнита относительно центра катушки равны 𝑥, 𝑦, 𝑧, (𝑧 измеряется параллельно оси катушки), то корректирующий множитель равен
⎛
⎜
⎝
1+
3
2
𝑥²+𝑦²-2𝑧²
𝐴²
⎞
⎟
⎠
.
Для катушки большого радиуса при тщательно проведённой установке магнита мы можем считать эти поправки неощутимыми.
Прибор Гогейна (Gaugain)
712. Чтобы избавиться от поправок, связанных с величиной 𝐺₃, Гогейн сконструировал такой гальванометр, для которого этот член уменьшается до нуля; это достигается путём подвешивания магнита не в центре катушки, а в точке её оси, отстоящей от центра на половину радиуса катушки. Формула для 𝐺₃ такова:
𝐺₃
=
4π
𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)
𝐶⁷
и поскольку для этой конструкции 𝐵=𝐴/2, то 𝐺₃=0.
Эта конструкция могла бы считаться улучшенной по сравнению с предыдущей, если бы мы были уверены в том, что центр подвешенного магнита находится точно в найденной таким образом точке. Однако положение центра магнита всегда обладает некоторой неопределённостью, и эта неопределённость вводит корректирующий множитель неизвестной величины, зависящий от 𝐺₂ вида
⎛
⎜
⎝
1-
6
5
𝑧
𝐴
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑧 - неизвестное превышение расстояния центра магнита от плоскости катушки. Эта поправка зависит от первой степени 𝑧/𝐴. Таким образом, катушка Гогейна с эксцентрически подвешенным магнитом подвержена, гораздо большим неточностям, чем прежняя конструкция.
Прибор Гельмгольца
713. Гельмгольц преобразовал гальванометр Гогейна в более надёжный прибор, поместив на том же расстоянии по другую сторону от магнита вторую катушку, одинаковую с первой.
Размещая эти катушки симметрично по обе стороны от магнита, мы сразу же избавляемся от всех членов чётного порядка.
Пусть 𝐴 - средний радиус любой из катушек; расстояние между их средними плоскостями также берётся равным 𝐴. Магнит подвешивается в средней точке их общей оси. Коэффициенты равны:
𝐺₁
=
16π𝑛
5√5
1
𝐴
⎛
⎜
⎝
1-
1
60
ξ²
𝐴²
⎞
⎟
⎠
,
𝐺₂
=
0,
𝐺₃
=
π𝑛
3√5𝐴⁵
(31ξ²-36η²)
,
𝐺₄
=
0,
𝐺₅
=
-0,73728
π𝑛
√5𝐴⁵
,
где 𝑛 обозначает число витков в обеих катушках, вместе взятых.
Из этих результатов следует, что если каркас катушки с намоткой по φ имеет прямоугольное сечение высотой ξ и шириной η, то величина 𝐺₃ с учётом поправки на конечные размеры сечения будет малой, а при отношении ξ² к η², равном 36 к 31, она обращается в ноль.
Поэтому совсем не обязательно стараться наматывать катушку на коническую поверхность, как это делалось некоторыми изготовителями приборов, ибо соответствующим условиям можно удовлетворить с помощью катушек прямоугольного сечения, которые могут быть изготовлены с гораздо большей точностью, чем катушки, намотанные на конус с широким раствором.
Расположение катушек в двойном гальванометре Гельмгольца представлено на рис. 53 в п. 725.
Поле силы, создаваемое двойной катушкой в плоскости её сечения, представлено на рис. XIX в конце данного тома.
Четырехкатушечный гальванометр
714. Комбинируя четыре катушки, можно избавиться от коэффициентов 𝐺₂, 𝐺₃, 𝐺₄, 𝐺₅, и 𝐺₆. При любой симметричной комбинации мы избавляемся от коэффициентов чётных порядков. Пусть четыре катушки будут параллельны окружностям, принадлежащими одной и той же сфере, а соответствующие им углы равны θ, φ, π-φ и π-θ.
Пусть число витков в первой и четвёртой катушках равно 𝑛, а во второй и третьей -𝑝𝑛; Тогда условие того, что для этой комбинации 𝐺₂=0, даёт
𝑛sin²θ
𝑃₃'(θ)
+
𝑝𝑛sin²φ
𝑃₃'(φ)
=
0,
(1)
а условие того, что 𝐺₅=0, даёт
𝑛sin²θ
𝑃₅'(θ)
+
𝑝𝑛sin²φ
𝑃₅'(φ)
=
0.
(2)
Полагая
sin²θ
=
𝑥
и
sin²φ
=
𝑦
(3)
и выражая 𝑃₃' и 𝑃₅' (п. 698) через эти величины, получим в качестве уравнений (1) и (2)
4𝑥
-
5𝑥²
+
4𝑝𝑦
-
5𝑝𝑦²
=
0,
(4)
8𝑥
-
28𝑥²
+
21𝑥³