Выбрать главу

Рис. 1

На рис. 1 показаны плавающие на воде два магнита: магнит 𝑚2 расположен на оси магнита 𝑚1, а его собственная ось перпендикулярна оси 𝑚1, две точки 𝐴 и 𝐵, жёстко связанные соответственно с 𝑚1 и 𝑚2, соединены между собой нитью 𝑇. Система будет находиться в равновесии, если 𝑇 пересечёт линию 𝑚1𝑚2 под прямым углом в точке, отстоящей от 𝑚1 на одну треть расстояния между 𝑚1 и 𝑚2.

(4) Если позволить второму магниту свободно вращаться вокруг своего центра, пока он не придёт в положение устойчивого равновесия, то при этом энергия 𝑊 окажется минимальной по ℎ2 и, следовательно, созданная магнитом 𝑚2 составляющая силы в направлении ℎ1 будет иметь максимум. Таким образом, если мы хотим с помощью магнитов с фиксированным положением центров создать в данной точке и вдоль заданного направления максимально возможную магнитную силу, то для определения нужных направлений осей магнитов, при которых достигается этот эффект, необходимо: поместить один из магнитов в заданную точку, установив его в требуемом направлении; поместить центр другого магнита в любую из остальных задаваемых точек и установить положение его оси в состоянии устойчивого равновесия. После этого следует разместить все магниты так, чтобы их оси были установлены в направлениях, указанных вторым магнитом [рис. 2].

Рис. 2

Разумеется, при выполнении этого опыта мы должны принимать во внимание земной магнетизм, если он существен.

Пусть второй магнит находится в положении устойчивого равновесия относительно своего направления, тогда действующая на него пара сил исчезает, и поэтому его ось должна располагаться в одной плоскости с осью первого магнита. Следовательно,

1

2

=

(ℎ

1

𝑟)

+

(ℎ

2

𝑟)

,

(16)

и момент пары сил, равный

𝑚1𝑚2

𝑟3

(

sin(ℎ

1

2

)

-

3cos(ℎ

1

𝑟)

sin(𝑟ℎ

2

)

),

(17)

обращается в нуль, как мы видим, при условии

tg(ℎ

1

𝑟)

=

2tg(𝑟ℎ

2

)

,

(18)

или

tg 𝐻

1

𝑚

2

𝑅

=

2tg 𝑅𝑚

2

𝐻

1

.

(19)

Когда второй магнит занимает это положение, значение 𝑊 становится равным 𝑚2(𝑑𝑉1/𝑑ℎ2), где ℎ2 - направление силовой линии в точке 𝑚2, определяемое действием магнита 𝑚1. Следовательно,

𝑊

=

-𝑚

2

𝑑𝑉1

𝑑𝑥

⎫²

+

𝑑𝑉1

𝑑𝑦

⎫²

+

𝑑𝑉1

𝑑𝑧

⎫²

⎞½

,

(20)

т.е. второй магнит будет стремиться двигаться туда, где результирующая сила больше.

Сила, действующая на второй магнит, может быть разложена на силу 𝑅, которая в этом случае всегда является силой притяжения к первому магниту, и силу 𝐻1, параллельную оси первого магнита:

𝑅

=

3

𝑚

1

𝑚

2

1

²+1

, 𝐻

=

3

𝑚

1

𝑚

2

λ

1

.

𝑟

4

1

²+1

𝑟

4

1

²+1

(21)

На рис. XIV в конце этого тома нарисованы силовые линии и эквипотенциальные поверхности в двумерном случае. Предполагается, что они создаются магнитами в виде двух длинных цилиндрических поперечно намагниченных стержней, сечения которых показаны полыми кружками, а направление намагниченности - стрелками.

Если вспомнить о наличии натяжения вдоль силовых линий, то легко понять, что каждый из магнитов будет стремиться повернуться в направлении движения часовой стрелки.

Кроме того, в целом правый магнит будет стремиться смещаться вверх по странице, а левый магнит - вниз.

О потенциальной энергии магнита, помещённого в магнитное поле

389. Пусть 𝑉 - магнитный потенциал, создаваемый любой системой магнитов, действующих на данный рассматриваемый магнит. Будем называть его потенциалом внешней магнитной силы.

Если маленький магнит длиной 𝑑𝑠 расположен так, что его положительный полюс величины 𝑚 находится в точке с потенциалом 𝑉, а отрицательный - в точке с потенциалом 𝑉', то потенциальная энергия этого магнита будет равна 𝑚(𝑉-𝑉') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑠

𝑑𝑠

.

(1)

Если 𝐼 - величина намагниченности, λ, μ, ν - её направляющие косинусы, то можно написать

𝑚

𝑑𝑠

=

𝐼

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

и

𝑑𝑉

𝑑𝑠

=

λ

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

μ

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

ν

𝑑𝑉

𝑑𝑧

,

и, наконец, если 𝐴, 𝐵, 𝐶 - составляющие намагниченности, то 𝐴=λ𝐼, 𝐵=μ𝐼, 𝐶=ν𝐼, так что выражение (1) для потенциальной энергии элемента магнита станет таким:

𝐴

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

𝐵

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

𝐶

𝑑𝑉

𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(2)

Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим

𝑊

=

𝐴

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

𝐵

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

𝐶

𝑑𝑉

𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(3)

Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.

Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.

Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала: