8
7
√3
√7
π𝑛γ
⎧
⎨
⎩
3
𝑟²
𝑐²
𝑃₂(θ)
-
11
7
𝑟⁶
𝑐⁶
𝑃₆(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
что указывает на почти однородную силу, действующую на маленькую подвешенную катушку. Расположение катушек в этом случае такое же, как расположение двух внешних катушек в трёх катушечном гальванометре, описанном в п. 715, см. рис. 50.
729. Если мы хотим подвесить катушку между двумя другими катушками, расположенными так близко к ней, что расстояние между взаимодействующими проводами мало по сравнению с радиусами катушек, то наиболее однородная сила получается, если радиус каждой из внешних катушек превышает радиус средней катушки на 1/√3 расстояния между плоскостями средней и внешней катушек. Это следует из выражения для взаимной индукции между двумя круговыми токами, полученного в п. 705.
ГЛАВА XVI
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
730. Очень многие измерения электрических величин зависят от наблюдений движения колеблющегося тела; поэтому мы уделим внимание природе этого движения, а также наилучшим методам его наблюдения.
Малые колебания тела около положения равновесия обычно аналогичны колебаниям точки, на которую действует сила, меняющаяся пропорционально расстоянию от некоторой фиксированной точки. В наших опытах в случае колеблющихся тел имеется также сопротивление движению, обусловленное рядом причин, таких как вязкость воздуха и вязкость нити подвеса. Во многих электрических приборах имеется другой источник сопротивления, а именно обратное воздействие токов, индуцируемых в проводящих контурах, расположенных вблизи колеблющихся магнитов. Эти токи индуцируются движением магнита и их действие на магнит в соответствии с правилом Ленца состоит в постоянном противодействии его движению. Во многих случаях это составляет основную часть сопротивления.
Иногда около магнита с явно выраженной целью уменьшения или полного прекращения его колебаний помещается металлический контур, называемый Демпфером. Поэтому о сопротивлении такого рода мы будем говорить как о Демпфирующем.
В случае медленных колебаний, таких, которые легко наблюдать, полное сопротивление, какими бы причинами оно ни было обусловлено, оказывается прямо пропорциональным скорости. И только когда скорость гораздо больше, чем при обычных колебаниях в электромагнитных приборах, появляются свидетельства в пользу того, что сопротивление пропорционально квадрату скорости.
Таким образом, мы должны исследовать движение тела под действием притяжения, меняющегося пропорционально расстоянию, и сопротивления, меняющегося пропорционально скорости.
731. Нижеследующее применение принципа Годографа, данное профессором Тэтом 1 позволяет нам очень простым способом исследовать движение такого рода при помощи равноугловой спирали.
1Proc. R. S. Edin., Dec. 16, 1867.
Пусть требуется найти ускорение частицы, которая описывает логарифмическую или равноугловую спираль, двигаясь с постоянной угловой скоростью ω вокруг полюса.
Эта спираль обладает тем свойством, что касательная 𝑃𝑇 образует постоянный угол α с радиус-вектором 𝑃𝑆 [рис. 57].
Рис. 57
Если скорость в точке 𝑃 равна 𝑣, то
𝑣⋅sin α
=
ω⋅𝑆𝑃
Следовательно, если мы проведём отрезок 𝑆𝑃', параллельный 𝑃𝑇 и равный 𝑆𝑃, то скорость в точке 𝑃 и по величине, и по направлению будет задана выражением
𝑣
=
ω
sin α
𝑆𝑃'
Таким образом, точка 𝑃' будет точкой на годографе. Но 𝑆𝑃' есть отрезок 𝑆𝑃, повёрнутый на постоянный угол π-α, так что годограф, описываемый точкой 𝑃', совпадает с исходной спиралью, повёрнутой вокруг полюса на угол π-α.
Ускорение точки 𝑃 по величине и по направлению представлено скоростью точки 𝑃', умноженной на тот же самый фактор ω/sin α.
Следовательно, если мы произведём над отрезком 𝑆𝑃' ту же самую операцию поворота на угол π-α в новое положение 𝑆𝑃'', то ускорение точки 𝑃 по величине и направлению будет равно
ω²
sin²α
𝑆𝑃''
,
где 𝑆𝑃'' есть отрезок 𝑆𝑃, повёрнутый на угол 2π-2α.
Проведя отрезок 𝑃𝐹, равный и параллельный 𝑆𝑃'', мы можем ускорение
ω²
sin²α
𝑃𝐹
,
разложить на
ω²
sin²α
𝑃𝑆
и
ω²
sin²α
𝑃𝐾
.
Первая из этих составляющих есть ускорение, направленное к центру 𝑆 и пропорциональное расстоянию.
Вторая составляющая направлена против скорости, и, поскольку
𝑃𝐾
=
2cos α
𝑃'𝑆
=-
sin α cos α
ω
𝑣
,
это ускорение можно записать так:
-2
ω cos α
sin α
𝑣
.
Ускорение частицы состоит, таким образом, из двух частей, первая из которых обусловлена силой притяжения μ𝑟, направленной к 𝑆 и пропорциональной расстоянию, а вторая, равная -2𝑘𝑣, является сопротивлением движению, пропорциональным скорости, где
μ
=
ω
sin²α
,
𝑘
=
ω
cos α
sin α
.
Если мы положим в этих выражениях α=π/2, орбита становится круговой, и мы имеем μ₀=ω₀², 𝑘=0.
Следовательно, если сила на единичном расстоянии остаётся той же самой, то μ=μ₀ и ω=ω₀sin α, т.е. угловая скорость на различных спиралях при одном и том же законе притяжения пропорциональна синусу угла спирали.
732. Если мы рассмотрим теперь движение точки, являющейся проекцией движущейся точки 𝑃 на горизонтальную линию 𝑋𝑌, то увидим, что её расстояние от 𝑆 и её скорость являются горизонтальными составляющими соответствующих величин для 𝑃. Следовательно, ускорение этой точки также состоит из притяжения, направленного к 𝑆 и равного расстоянию от 𝑆, взятому μ раз, и торможения, равного скорости, умноженной на 2𝑘.
Мы имеем, таким образом, завершённую конструкцию для описания прямолинейного движения точки, происходящего под действием притяжения, пропорционального расстоянию от некоторой фиксированной точки, и сопротивления, пропорционального скорости. Движение такой точки является горизонтальной проекцией движения другой точки, которая движется с постоянной угловой скоростью вдоль логарифмической спирали.
733. Уравнение спирали 𝑟=𝐶𝑒-φ ctg α.
Чтобы определить горизонтальное движение, положим φ=ω𝑡, 𝑥=𝑎+𝑟sin φ, где 𝑎 - значение 𝑥 для точки равновесия.
Если мы проведём отрезок 𝐵𝑆𝐷, образующий с вертикалью угол α, то касательные 𝐵𝑋, 𝐷𝑌, 𝐺𝑍, … будут вертикальными, а точки 𝑋, 𝑌, 𝑍, … окажутся крайними точками последовательных осцилляций.