734. При наблюдении колеблющихся тел отмечаются:
(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.
(2). Моменты прохождения определённого деления шкалы в положительном или отрицательном направлении.
(3). Показания шкалы в определённые моменты времени. Подобного рода наблюдения проводятся редко, лишь в случае колебаний с большим периодом 2.
2 См. Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. II, p. 34-50.
Мы должны определить следующие величины:
(1). Показание шкалы в положении равновесия.
(2) Логарифмический декремент колебаний.
(3). Время одного колебания.
Как определить показание шкалы в положении равновесия через три последовательные элонгации
735. Допустим, мы засекли три показания шкалы 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, соответствующие элонгациям 𝑋, 𝑌, 𝑍, и пусть 𝑎 -показание в положении равновесия 𝑆, а 𝑟₁, -значение величины 𝑆𝐵, тогда
𝑥₁-𝑎
=
𝑟₁
sin α
,
𝑥₂-𝑎
=
𝑟₁
sin α
𝑒
-π ctg α
,
𝑥₃-𝑎
=
𝑟₁
sin α
𝑒
-2π ctg α
.
Из этих величин мы находим
(𝑥₁-𝑎)
(𝑥₃-𝑎)
=
(𝑥₂-𝑎)²
Откуда
𝑎
=
𝑥₁𝑥₃+𝑥₂²
𝑥₁+𝑥₃-2𝑥₂
.
Если 𝑥₃ не очень сильно отличается от 𝑥₁, мы можем пользоваться приближённой формулой
𝑎
=
¼(𝑥₁+2𝑥₂+𝑥₃)
.
Как найти логарифмический декремент
736. Логарифмическим декрементом называется логарифм отношения амплитуды какого-либо колебания к амплитуде следующего за ним колебания. Если мы обозначим это отношение через ρ:
ρ
=
𝑥₁-𝑥₂
𝑥₃-𝑥₂
,
𝐿
=
lg ρ
,
λ
=
ln ρ
,
то величина 𝐿 называется обычным логарифмическим декрементом, а величина λ - неперовским логарифмическим декрементом. Очевидно, что λ=𝐿 ln 10=π ctg α.
Следовательно, α=arcctg(λ/π) определяет угол логарифмической спирали.
Для определения величины λ нужно позволить телу совершить значительное число колебаний. Если 𝑐₁ - амплитуда первого, а 𝑐𝑛 - амплитуда 𝑛 -го колебания, то
λ
=
1
𝑛-1
ln
⎛
⎜
⎝
𝑐₁
𝑐𝑛
⎞
⎟
⎠
.
Если мы предположим, что точность наблюдений при малых и при больших колебаниях одинакова, то для получения наилучшего значения λ мы должны были бы дать возможность затухать колебаниям до тех пор, пока отношение 𝑐₁ к 𝑐𝑛 не станет приближённо равным основанию натуральных логарифмов 𝑒. Это даёт для 𝑛 значение ближайшего к (1/λ)+1 целого числа.
Поскольку, однако, в большинстве случаев время дорого, то лучше провести другую серию наблюдений, не дожидаясь такого значительного уменьшения амплитуды.
737. В некоторых случаях может оказаться, что мы должны определить положение равновесия по двум соседним элонгациям, когда логарифмический декремент известен из специально проведённого опыта. Тогда мы имеем
𝑎
=
𝑥₁+𝑒λ𝑥₂
1+𝑒λ
.
Время одного колебания
738. После определения показания шкалы, соответствующего точке равновесия, в эту точку шкалы или как можно ближе к ней помещается хорошо различимая метка и для нескольких последовательных колебаний замечаются моменты прохождения этой метки.
Допустим, что метка смещена в положительном направлении от точки равновесия на неизвестное, но очень малое расстояние 𝑥, и пусть 𝑡₁ - зарегистрированный момент времени первого прохождения метки в положительном направлении, а 𝑡₂, 𝑡₃, … - моменты последующих прохождений.
Если 𝑇 - время одного колебания (полупериод), а 𝑃₁, 𝑃₂, 𝑃₃, … - моменты прохождения точки истинного равновесия, то
𝑡₁
=
𝑃₁
+
𝑥
𝑣₁
,
𝑡₂
=
𝑃₂
+
𝑥
𝑣₂
,
𝑃₂
-
𝑃₁
=
𝑃₃
-
𝑃₂
=
𝑇,
где 𝑣₁, 𝑣₂, … - последовательные значения скоростей прохождения, которые на очень малых расстояниях 𝑥 мы можем считать постоянными.
Если ρ есть отношение амплитуды какого-либо колебания к амплитуде последующего колебания, то
𝑣₂
=-
1
ρ
𝑣₁
и
𝑥
𝑣₂
=
-ρ
𝑥
𝑣₁
.
Если три прохождения наблюдались в моменты времени 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, мы находим
𝑥
𝑣₁
=
𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃
(ρ+1)²
.
Следовательно, время одного колебания равно
𝑇
=
1
2
(𝑡₃-𝑡₁)
-
1
2
ρ-1
ρ+1
(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)
.
Момент второго прохождения истинной точки равновесия равен
𝑃₂
=
1
4
(𝑡₁+2𝑡₂+𝑡₃)
-
1
4
(ρ-1)²
(ρ+1)²
(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)
.
Для определения этих трёх величин достаточно трёх прохождений, однако любое большее число прохождений можно скомбинировать по методу наименьших квадратов. Так, для пяти прохождений
𝑇
=
1
10
(2𝑡₅+𝑡₄-𝑡₂-2𝑡₁)
-
-
1
10
(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)
ρ-1
ρ+1
⎛
⎜
⎝
2-
2
1+ρ²
⎞
⎟
⎠
.
Момент третьего прохождения при этом равен
𝑃₃
=
1
8
(𝑡₁+2𝑡₂+2𝑡₃+2𝑡₄+𝑡₅)
-
-
1
8
(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)
(ρ-1)²
(ρ+1)²
.
739. Этот же метод можно распространить и на серию, состоящую из любого числа колебаний. Если колебания настолько быстрые, что невозможно регистрировать момент каждого прохождения, мы можем засекать момент каждого третьего или каждого пятого прохождения, следя за тем, чтобы направления соседних регистрируемых прохождений были противоположны. Если колебания регулярно происходят в течение большого промежутка времени, то нет необходимости вести наблюдение всё это время. Мы можем начать с наблюдения достаточного числа прохождений, для того чтобы приближённо определить время одного колебания 𝑇 и момент среднего прохождения 𝑃, заметив, в каком направлении - положительном или отрицательном - оно происходит. Затем можно либо продолжать считать колебания, не отмечая моменты прохождения, либо вообще не следить за прибором. Далее мы наблюдаем вторую серию прохождений и находим время одного колебания 𝑇' и момент среднего прохождения 𝑃', замечая направление этого прохождения.