Если времена одного колебания 𝑇 и 𝑇', найденные из двух серий наблюдений, приближённо равны, мы можем перейти к более точному определению периода, комбинируя наблюдения двух серий.
Частное от деления 𝑃'-𝑃 на 𝑇 должно получиться очень близким к целому числу, чётному или нечётному в соответствии с тем, одинаковы или противоположны направления прохождений 𝑃 и 𝑃. Если это не так, то вся серия наблюдений бесполезна, но если результат очень близок к целому числу 𝑛, то, разделив 𝑃'-𝑃 на 𝑛, мы найдём значение 𝑇, среднее для всего времени колебаний.
740. Найденное таким образом время одного колебания 𝑇 является фактическим средним временем колебания; к нему необходимо вводить поправки, если мы хотим вывести из него время колебаний при бесконечно малых дугах в отсутствие затухания.
Чтобы свести наблюдаемое время к времени бесконечно малых колебаний, мы заметим, что время колебания с амплитудой 𝑐 от одного состояния покоя до другого обычно можно представить в виде 𝑇=𝑇₁(1+ϰ𝑐²), где ϰ - некоторый коэффициент, который в случае обычного маятника равен 1/64. Амплитуды следующих друг за другом колебаний равны 𝑐, 𝑐ρ-1, 𝑐ρ-2, …, 𝑐ρ1-𝑛, так что полное время колебаний равно
𝑛𝑇
=
𝑇₁
⎛
⎜
⎝
𝑛+ϰ
𝑐₁²ρ²-𝑐𝑛²
ρ²-1
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑇 есть время, полученное из наблюдений.
Следовательно, для нахождения времени при бесконечно малых дугах 𝑇₁ мы приближённо имеем
𝑇₁
=
𝑇
⎧
⎨
⎩
1-
ϰ
𝑛
𝑐₁²ρ²-𝑐𝑛²
ρ²-1
⎫
⎬
⎭
.
Для получения времени 𝑇₀ в отсутствие затухания мы имеем (п. 731)
𝑇₀
=
𝑇₁
sin α
=
𝑇₁
π
√π²+λ²
.
741. Уравнение прямолинейного движения тела под действием притяжения к некоторой неподвижной точке, пропорционального расстоянию, и силы сопротивления, меняющейся пропорционально скорости, следующее:
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
+
2𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
ω²(𝑥-𝑎)
=
0,
(1)
где 𝑥 - координата тела в момент времени 𝑡, 𝑎 - координата точки равновесия. Чтобы решить это уравнение, положим
𝑥-𝑎
=
𝑒
-𝑘𝑡
𝑦
;
(2)
тогда
𝑑²𝑦
𝑑𝑡²
+
(ω²+𝑘²)
𝑦
=
0.
(3)
Решение этого уравнения:
𝑦
=
𝐶
cos (
√
ω²+𝑘²
𝑡
+
α
),
если
𝑖
меньше чем
ω
;
(4)
𝑦
=
𝐴
+
𝐵𝑡
,
если
𝑖
равно
ω
;
(5)
𝑦
=
𝐶'
cos ℎ(
√
𝑘²-ω²
𝑡'
+
α
),
если
𝑖
больше, чем
ω
.
(6)
Величину 𝑥 можно получить из 𝑦 при помощи уравнения (2). Когда 𝑘 меньше ω, движение состоит из бесконечной серии последовательности колебаний с постоянным периодом и непрерывно уменьшающейся амплитудой. С ростом 𝑘 период колебаний увеличивается, а уменьшение амплитуды становится более быстрым.
Когда величина 𝑘 (половина коэффициента сопротивления) становится равной или большей чем ω (корень квадратный из ускорения на единичном расстоянии от точки равновесия), движение перестаёт быть колебательным; за время всего движения тело может лишь один раз пройти точку равновесия, после чего оно достигает положения максимального отклонения, а затем начинает возвращаться к точке равновесия, непрерывно приближаясь к ней, но никогда её не достигая.
Гальванометры, в которых сопротивление столь велико, что в них происходит такого рода движение, называются апериодическими гальванометрами. Они полезны во многих экспериментах, но особенно при телеграфной связи, где существование свободных колебаний могло бы совершенно замаскировать те движения, которые предполагается обнаруживать.
Какими бы ни были значения 𝑘 и ω, величина 𝑎 (показание шкалы в точке равновесия) может быть выведена из пяти показаний шкалы 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, взятых через равные промежутки времени по формуле
𝑎
=
𝑞(𝑟𝑠-𝑞𝑡)+𝑟(𝑝𝑡+𝑟²)+𝑠(𝑞𝑟-𝑝𝑠)
(𝑝-2𝑞+𝑟)(𝑟-2𝑠+𝑡)-(𝑞+2𝑟+𝑠)²
.
О наблюдениях с гальванометром
742. Для измерения постоянного тока с помощью тангенс-гальванометра прибор устанавливается таким образом, чтобы плоскость его катушек была параллельна магнитному меридиану, и снимается нулевое показание шкалы. После этого через катушки пропускается ток и наблюдается отклонение магнита, соответствующее его новому положению равновесия. Обозначим его через φ.
Тогда, если 𝐻 есть горизонтальная магнитная сила, 𝐺 - коэффициент гальванометра, а γ - сила тока, то
γ
=
𝐻
𝐺
tg φ
.
(1)
Если коэффициент кручения нити подвеса равен τ𝑀𝐻 (см. п. 452). то мы должны пользоваться уточнённой формулой
γ
=
𝐻
𝐺
(tg φ + τφsec φ)
.
(2)
Наилучшее значение величины отклонения
743. В некоторых гальванометрах можно по желанию менять число витков в катушке, по которым протекает ток. В других гальванометрах заданную часть тока можно отвести от гальванометра с помощью проводника, называемого шунтом. В любом из этих случаев меняется величина 𝐺, представляющая собой действие единичного тока на магнит.
Определим значение 𝐺, для которого заданная ошибка наблюдаемого отклонения соответствует наименьшей ошибке вычисленного значения силы тока.
Дифференцируя уравнение (1), находим
𝑑γ
𝑑φ
=
𝐻
𝐺
sec²φ
.
(3)
Исключая 𝐺,
𝑑φ
𝑑γ
=
1
2γ
sin 2φ
.
(4)
Это выражение имеет максимум при заданном значении γ, когда отклонение равно 45°. Поэтому величину 𝐺 следовало бы регулировать до тех пор, пока произведение 𝐺γ не станет как можно более близким к 𝐻, т.е. для сильных токов лучше не пользоваться слишком чувствительным гальванометром.
О наилучшем способе подключения тока
744. Если наблюдатель может в любой момент времени замыкать и размыкать цепь при помощи ключа, то целесообразно работать ключом таким образом, чтобы магнит подходил к положению равновесия с наименьшей возможной скоростью. Для этой цели Гаусс рекомендовал следующий метод.
Предположим, что магнит находится в положении равновесия и ток отсутствует. Наблюдатель замыкает цепь на короткий промежуток времени, так что магнит приходит в движение в направлении нового положения равновесия. Затем наблюдатель прерывает контакт. Теперь сила направлена к первоначальному положению равновесия, и движение становится замедленным. Если сделать так, что магнит остановится точно в новом положении равновесия, и в этот момент замкнуть цепь, сохраняя контакт и далее, то магнит будет оставаться в покое в новом положении равновесия.