Выбрать главу

𝑊

=

(

𝐴𝑙

+

𝐵𝑚

+

𝐶𝑛

)

𝑉

𝑑𝑆

-

(4)

-

𝑉

𝑑𝐴

𝑑𝑥

+

𝑑𝐵

𝑑𝑦

+

𝑑𝐶

𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт

𝑊

=

𝑉σ

𝑑𝑆

+

𝑉ρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(5)

Уравнение (3) можно переписать в виде

𝑊

=

-

(

𝐴α

+

𝐵β

+

𝐶γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(6)

где α, β, и γ - составляющие внешней магнитной силы.

О магнитном моменте и оси магнита

390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие α, β, γ постоянны. Записав

𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝑙𝐾

,

𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝑚𝐾

,

𝐶

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝑛𝐾

(7)

и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину 𝑊 можно представить в виде

𝑊

=

-𝐾

(

𝑙α

+

𝑚β

+

𝑛γ

).

(8)

В этом выражении 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы оси магнита, 𝐾 - его магнитный момент. Если обозначить через ε угол между осью магнита и направлением магнитной силы ℌ то величину 𝑊 можно переписать так:

𝑊

=

-𝐾

cos ε

.

(9)

Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут φ и наклонён на угол θ относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут δ и наклонение ζ, получим

α

=

ℌcos ζ cos δ,

β

=

ℌcos ζ sin δ,

γ

=

ℌ sin ζ;

(10)

𝑙

=

cos θ cos φ,

𝑚

=

cos θ sin φ,

𝑚

=

sin θ;

(11)

Откуда следует

𝑊

=

-𝐾

{

cos ζ

cos θ

cos (φ-δ)

+

sin ζ

sin θ

}.

(12)

Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол φ, равен

-

𝑑𝑊

𝑑φ

=

-𝐾ℌ

cos ζ

cos θ

sin (φ-δ)

.

(13)

О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам

391. Пусть 𝑉 - потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (ξ,η,ζ), его значение в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧 равно

𝑉

=

{

(ξ-𝑥)²

+

(η-𝑦)²

+

(ζ-𝑧)²

}

 

.

(1)

Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда

𝑉

=

𝑉

0

+

𝑉

1

+

𝑉

2

+ и т.д.

(2)

где

𝑉

0

=(1/𝑟)

,

(3)

𝑟 - расстояние до точки (ξ,η,ζ) от начала координат,

𝑉

1

=

ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧

𝑟³

,

(4)

𝑉

2

=

3(ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧)-(𝑥²+𝑦²+𝑧²)(ξ²+η²+ζ²)

2𝑟5

,

(5)

и т.д.

Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для 𝑊 в уравнении (3) п. 389 по 𝑥, 𝑦 и 𝑧, считая ξ, η, ζ и 𝑟 постоянными.

Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками 𝑉0, 𝑉1 и 𝑉2, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:

𝑙𝐾

=

𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑚𝐾

=

𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑚𝐾

=

𝐶

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

;

(6)

𝐿

=

𝐴𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑀

=

𝐵𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑁

=

𝐶𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

;

(7)

𝑃

=

(𝐵𝑧+𝐶𝑦)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑄

=

(𝐶𝑥+𝐴𝑧)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝑅

=

(𝐴𝑦+𝐵𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(8)

Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (ξ,η,ζ), находим

𝑊

=

𝐾

𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ

𝑟³

+

ξ²(2𝐿-𝑀-𝑁)+η²(2𝑀-𝑁-𝐿)

𝑟5

+

+

3(𝑃ηζ+𝑄ζξ+𝑅ξη)

𝑟5

+ и т.д.

(9)

Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (ξ,η,ζ).

О центре магнита и о главной и побочных осях магнита

392. Это выражение можно упростить, изменив направление координатных осей и положение начала координат. Прежде всего направим ось 𝑥 параллельно оси магнита. Это эквивалентно тому, что

𝑙

=

1,

𝑚

=

0,

𝑛

=

0.

(10)

Если перенести начало координат в точку (𝑥',𝑦',𝑧'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы 𝑙𝐾, 𝑚𝐾 и 𝑛𝐾 останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом:

𝐿'

=

𝐿

-

𝑙𝐾𝑥'

,

𝑀'

=

𝑀

-

𝑚𝐾𝑦'

,

𝑁'

=

𝑁

-

𝑛𝐾𝑧'

(11)

𝑃'

=

𝑃

-

𝐾(𝑚𝑧'+𝑛𝑦')

,

𝑄'

=

𝑄

-

𝐾(𝑛𝑥'+𝑙𝑧')

,

𝑅'

=

𝑅

-

𝐾(𝑙𝑦'+𝑚𝑥')

.

(12)

Если сделать направление оси 𝑥 параллельным оси магнита и положить

𝑥'

=

2𝐿-𝑀-𝑁

2𝐾

,

𝑦'

=

𝑅

𝐾

,

𝑧'

=