Если магнит, включённый в контур гальванометра, нагружён так, что он качается достаточно медленно и за время одного свободного колебания магнита происходит очень много разрядов конденсатора, тогда последовательность разрядов будет действовать на магнит подобно постоянному току, сила которого равна 2𝐸𝐶/𝑇.
Если теперь конденсатор убрать и вместо него поставить катушку сопротивления и добиться, чтобы постоянный ток через гальванометр производил такое же отклонение, как и последовательность разрядов, и если сопротивление всего контура в этом случае равно 𝑅, то
𝐸
𝑅
=
2𝐸𝐶
𝑇
,
(1)
или
𝑅
=
2𝐶
𝑇
.
(2)
Мы можем, таким образом, сравнить конденсатор с движущимся коммутатором с проводом определённого электрического сопротивления; для определения этого сопротивления мы можем использовать различные методы измерения сопротивлений, описанные в п. 345-357.
776. Для этой цели при использовании метода Дифференциального Гальванометра (см. п. 346) или мостика Уитстона (см. п. 347) мы можем вместо одного из проводов вставить конденсатор с его коммутатором. Предположим, что в каждом случае получено нулевое отклонение гальванометра - вначале с конденсатором и коммутатором, а затем с катушкой сопротивления 𝑅₁ вместо него. Тогда величина 𝑅/2𝐶 будет измеряться сопротивлением контура, часть которого образует катушка 𝑅₁ и который полностью замыкается через оставшуюся часть проводящей системы, включая батарею. Следовательно, сопротивление 𝑅, которое мы должны вычислить, равно сопротивлению катушки 𝑅₁ вместе с сопротивлением 𝑅₂ оставшейся части системы (включая батарею), причём концы катушки сопротивления следует взять в качестве электродов системы.
В случаях дифференциального гальванометра и мостика Уитстона нет необходимости делать второй эксперимент, подставляя катушку сопротивления вместо конденсатора. Величина требуемого для этой цели сопротивления может быть найдена путём вычисления через остальные известные сопротивления системы.
Используя обозначения п. 347, предположим, что конденсатор и коммутатор вставлены вместо проводника 𝐴𝐶 в мостик Уитстона, а гальванометр, подключённый в 𝑂𝐴, показывает нулевое отклонение. Мы знаем, что сопротивление катушки, которая, будучи помещённой в 𝐴𝐶, дала бы нулевое отклонение, равно
𝑏
=
𝑐γ
β
=
𝑅₁
.
(3)
Другая часть сопротивления - 𝑅₂ - является сопротивлением системы проводников 𝐴𝑂, 𝑂𝐶, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝑂𝐵, причём точки 𝐴 и 𝐶 рассматриваются как электроды. Следовательно,
𝑅₂
=
β(𝑏+𝑎)(γ+α)+𝑐𝑎(γ+𝑎)+γα(𝑐+𝑎)
(𝑐+α)(γ+𝑎)+β(𝑐+𝑎+γ+α)
.
(4)
В этом выражении 𝑎 обозначает внутреннее сопротивление батареи и её соединений; эта величина не может быть определена точно, но если сделать её малой по сравнению с другими сопротивлениями, эта неопределённость будет лишь слегка влиять на величину 𝑅₂.
Величина ёмкости конденсатора в электромагнитной мере равна
𝐶
=
𝑇
2(𝑅₁+𝑅₂)
.
(5)
777. Если конденсатор обладает большой ёмкостью, а коммутатор очень быстродействующий, то конденсатор может полностью не разряжаться при каждом переключении. Уравнение для электрического тока во время разряда следующее:
𝑄
+
𝑅₂𝐶
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
𝐸𝐶
=
0,
(6)
где 𝑄 - заряд, 𝐶 - ёмкость конденсатора, 𝑅₂ - сопротивление остальной части системы между электродами конденсатора, 𝐸 - электродвижущая сила, обусловленная включением батареи.
Следовательно,
𝑄
=
(
𝑄₀
+
𝐸𝐶
)
-
𝑒
-𝑡/(𝑅₂𝐶)
𝐸𝐶
(7)
где 𝑄₀ - начальное значение 𝑄.
Если τ - продолжительность контакта при каждом разряде, то количество электричества в каждом разряде равно
𝑄
=
2𝐸𝐶
1-𝑒-τ/(𝑅₂𝐶)
1+𝑒+τ/(𝑅₂𝐶)
.
(8)
Положив величины 𝑐 и γ в уравнении (4) большими по сравнению с β, 𝑎 или α, можно сделать время, представляемое произведением 𝑅₂𝐶, настолько малым по сравнению с τ, что при вычислении значения экспоненциального выражения мы можем использовать для 𝐶 выражение (5). Таким образом, мы находим
τ
𝑅₂𝐶
=
2
𝑅₁+𝑅₂
𝑅₂
τ
𝑇
,
(9)
где 𝑅₁ - сопротивление, которое надо поставить вместо конденсатора, чтобы произвести эквивалентный эффект; 𝑅₂ - сопротивление остальной части системы, 𝑇 - интервал между началом двух последовательных разрядов, τ - продолжительность контакта при каждом разряде. Таким образом, мы получаем уточнённое значение для величины 𝐶 в электромагнитной мере:
-2
𝑅₁+𝑅₂
𝑅₂
⋅
τ
𝑇
𝐶
=
1
𝑇
1+𝑒
.
2
𝑅₁+𝑅₂
-2
𝑅₁+𝑅₂
𝑅₂
⋅
τ
𝑇
1-𝑒
(10)
IV. Сравнение электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
778. Если две точки проводящего контура, сопротивление между которыми равно 𝑅, соединены с электродами конденсатора ёмкостью 𝐶, то при действии в контуре электродвижущей силы часть тока, вместо того чтобы проходить через сопротивление 𝑅, будет идти на заряд конденсатора. Следовательно, ток через 𝑅 будет увеличиваться от нуля до своего конечного значения постепенно. Из математической теории следует, что нарастание тока через 𝑅 от нуля до его конечного значения выражается формулой точно такого же вида, что и формула, определяющая величину тока, вызываемого постоянной электродвижущей силой в катушке электромагнита. Следовательно, мы можем поместить конденсатор и электромагнит в двух противоположных плечах мостика Уитстона таким образом, что ток через гальванометр всегда равен нулю, даже в момент замыкания или размыкания контура батареи.
Рис. 63
Пусть на рис. 63 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 будут соответственно сопротивления четырёх элементов мостика Уитстона. Пусть катушка с коэффициентом самоиндукции 𝐿 является частью элемента 𝐴𝐻 с сопротивлением 𝑄, и пусть электроды конденсатора ёмкости 𝐶 присоединены через проводники с малым сопротивлением к точкам 𝐹 и 𝑍. Для простоты мы будем предполагать, что в гальванометре, электроды которого присоединены к 𝐹 и 𝐻, ток отсутствует. Мы должны, таким образом, определить условие, при котором потенциал в точке 𝐹 равен потенциалу в точке 𝐻. И только если мы хотим оценить степень точности метода, мы должны вычислить ток через гальванометр, когда это условие не выполнено.