Пусть 𝑥 будет полное количество электричества, которое прошло через элемент 𝐴𝐹 за время 𝑡, а 𝑧 - количество электричества, прошедшее за то же время через 𝐹𝑍, тогда заряд конденсатора будет 𝑥-𝑧. Электродвижущая сила, действующая между электродами конденсатора, по закону Ома равна 𝑅(𝑑𝑧/𝑑𝑡), так что если ёмкость конденсатора равна 𝐶, то
𝑥-𝑧
=
𝑅𝐶
𝑑𝑧
𝑑𝑡
(1)
Пусть 𝑦 будет полное количество электричества, которое прошло через элемент 𝐴𝐻; электродвижущая сила от 𝐴 к 𝐻 должна равняться электродвижущей силе от 𝐴 к 𝐹, т.е.
𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝐿
𝑑²𝑦
𝑑𝑡²
=
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑡
.
(2)
Поскольку ток через гальванометр отсутствует, количество электричества, прошедшее через 𝐻𝑍, также должно равняться 𝑦, поэтому находим
𝑆
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑡
.
(3)
Подставляя в (2) значение 𝑥, найденное из (1), и сравнивая с (3), мы находим в качестве условия отсутствия тока через гальванометр
𝑅𝑄
⎛
⎜
⎝
1+
𝐿
𝑄
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑧
=
𝑆𝑃
⎛
⎜
⎝
1+
𝑅𝐶
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑧
.
(4)
Условие отсутствия тока в установившемся режиме имеет обычный для мостика Уитстона вид
𝑄𝑅
=
𝑆𝑃
.
(5)
Дополнительное условие отсутствия тока при размыкании и замыкании соединения с батареей следующее:
𝐿
𝑄
=
𝑅𝐶
.
(6)
Здесь 𝐿/𝑄 и 𝑅𝐶 являются постоянными времени элементов 𝑄 и 𝑅 соответственно. Поэтому, если, меняя 𝑄 или 𝑅, мы отрегулируем элементы мостика Уитстона так, чтобы ток в гальванометре отсутствовал как при размыкании и замыкании контакта, так и в установившемся режиме, мы будем знать, что постоянные времени катушки и конденсатора равны.
Коэффициент самоиндукции 𝐿 можно определить в электромагнитной мере путём сравнения с коэффициентом взаимной индукции двух контуров с известными геометрическими параметрами (п. 756). Эта величина имеет размерность длины.
Ёмкость конденсатора может быть определена в электростатической мере путём сравнения с конденсатором, геометрические данные которого известны (п. 229). Эта величина с тоже является длиной. Ёмкость в электромагнитной мере равна
𝐶
=
𝑐
𝑣²
.
(7)
Подставляя это значение в уравнение (6), мы получаем для величины 𝑣:
𝑣²
=
𝑐
𝐿
𝑄𝑅
,
(8)
где 𝑐 - ёмкость конденсатора в электростатической мере, 𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки в электромагнитной мере, а 𝑄 и 𝑅 - сопротивления в электромагнитной мере. Значение 𝑣, найденное таким методом, зависит от определения единицы сопротивления, так же как и во втором методе, п. 772, 773.
V. Сопоставление электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
779. Пусть 𝐶 будет ёмкостью конденсатора, обкладки которого соединены проводом с сопротивлением 𝑅. Пусть в этот провод включены катушки 𝐿 и 𝐿' и пусть 𝐿 обозначает сумму их ёмкостей самоиндукции. Катушка 𝐿' подвешена на двухнитевом подвесе и состоит из двух параллельных витков, расположенных в вертикальной плоскости, между которыми проходит вертикальная ось, несущая магнит 𝑀, ось которого вращается в горизонтальной плоскости между катушками 𝐿𝐿'. Катушка 𝐿, имеющая большой коэффициент самоиндукции, закреплена. Подвешенная катушка 𝐿' защищена от потоков воздуха, вызываемых вращением магнита, путём помещения вращающихся частей внутрь полой оболочки [рис. 64].
Рис. 64
Движение магнита вызывает в катушке токи индукции, которые подвергаются воздействию со стороны магнита, так что плоскость подвешенной катушки отклоняется в направлении вращения магнита. Определим силу индуцированных токов и величину отклонения подвешенной катушки.
Пусть 𝑥 будет заряд электричества на верхней обкладке конденсатора 𝐶, тогда, если 𝐸 есть электродвижущая сила, которая произвела этот заряд, из теории конденсаторов имеем
𝑥
=
𝐶𝐸
.
(1)
Из теории электрических токов мы имеем также
𝑅𝑥̇
=
𝑑
𝑑𝑡
(
𝐿𝑥̇
+
𝑀 cos θ
)+
𝐸
=
0,
(2)
где 𝑀 - электромагнитный импульс контура 𝐿', когда ось магнита перпендикулярна плоскости катушки, а θ - угол между осью магнита и нормалью к этой плоскости.
Уравнение для определения 𝑥, таким образом, следующее:
𝐶𝐿
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
+
𝐶𝑅
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑥
=
𝐶𝑀
sin θ
𝑑θ
𝑑𝑡
.
(3)
Если катушка находится в положении равновесия и если магнит вращается с постоянной угловой скоростью 𝑛, то
θ
=
𝑛𝑡
.
(4)
Выражение для тока состоит из двух частей, одна из которых не зависит от правой части уравнения и убывает со временем по экспоненте. Другая часть, которую можно назвать вынужденным током, целиком определяется членом, содержащим θ, и может быть записана в виде
𝑥
=
𝐴 sin θ
+
𝐵 cos θ
.
(5)
Находя значения 𝐴 и 𝐵 подстановкой в уравнение (3), мы получаем
𝑥
=-
𝑀𝐶𝑛
𝑅𝐶𝑛 cos θ - (1-𝐶𝐿𝑛²)sin θ
𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²
.
(6)
Момент силы, действующий со стороны магнита на катушку 𝐿', по которой протекает ток 𝑥̇, противоположен моменту, который действовал бы на магнит, если бы катушка была неподвижна, и равен
Θ
=
𝑥̇
𝑑
𝑑θ
(𝑀 cos θ)
=
𝑀 sin θ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
.
(7)
Проинтегрировав это выражение по 𝑡 в течение одного оборота и разделив на время, мы получаем для среднего значения
Θ
=
1
2
𝑀²𝑅𝐶²𝑛³
𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²
.
(8)
Если катушка обладает значительным моментом инерции, её вынужденные колебания будут очень малы, а её среднее отклонение будет пропорционально Θ.
Пусть наблюдаемые отклонения 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐷₃ соответствуют угловым скоростям магнита 𝑛₁, 𝑛₂, 𝑛₃; тогда в общем случае
𝑃
𝑛
𝐷
=
⎛
⎜
⎝
1
𝑛
+
𝐶𝐿𝑛
⎞²
⎟
⎠
+
𝑅²𝐶²
,
(9)
где величина 𝑃 - постоянна.
Исключая 𝑃 и 𝑅 из трёх уравнений такого вида, мы находим