Для того чтобы получить уравнения движения среды, мы должны выразить её кинетическую энергию через скорость её частей, составляющими которой являются ξ̇, η̇, ζ̇. Таким образом, мы интегрируем по частям и находим
2𝐶
∭
(αω₁+βω₂+γω₃)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝐶
∬
(γη̇+βζ̇)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
𝐶
∬
(αζ̇+γξ̇)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
𝐶
∬
(βξ̇-αη̇)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
+
2𝐶
∭
⎧
⎨
⎩
ξ̇
⎛
⎜
⎝
𝑑γ
𝑑𝑦
-
𝑑β
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
η̇
⎛
⎜
⎝
𝑑α
𝑑𝑧
-
𝑑γ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
+
ζ̇
⎛
⎜
⎝
𝑑β
𝑑𝑥
-
𝑑α
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(4)
Двойные интегралы относятся к ограничивающей поверхности, которую можно предполагать расположенной на бесконечном расстоянии. Поэтому мы можем при исследовании того, что имеет место внутри среды, ограничиться рассмотрением тройного интеграла.
825. Часть кинетической энергии в единице объёма, выражаемая этим тройным интегралом, может быть записана в виде
4π𝐶
(ξ̇𝑢+η̇𝑣+ζ̇𝑤)
,
(5)
где 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими электрического тока в том виде, как они даны в уравнениях (Е) п. 607.
Из этого следует, что наша гипотеза эквивалентна предположению о том, что скорость частицы среды с составляющими 𝑢̇, 𝑣̇, 𝑤̇ является величиной, которая может входить в комбинации с электрическим током, составляющие которого 𝑢, 𝑣, 𝑤.
826. Если вернуться к выражению под знаком тройного интеграла в (4), подставив вместо значений α, β, γ значения α', β', γ', данные уравнениями (1), и записать
𝑑
𝑑ℎ
вместо
α
𝑑
𝑑𝑥
+
β
𝑑
𝑑𝑦
+
γ
𝑑
𝑑𝑧
,
(6)
то выражение под знаком интеграла станет таким:
𝐶
⎧
⎨
⎩
ξ̇
𝑑
𝑑ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑑ζ
𝑑𝑦
-
𝑑η
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
η̇
𝑑
𝑑ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑑ξ
𝑑𝑧
-
𝑑ζ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
+
ζ̇
𝑑
𝑑ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑑η
𝑑𝑥
-
𝑑ξ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
.
(7)
В случае волн в плоскости, нормальной к оси 𝑧, смещения являются функциями только 𝑧 и 𝑡, так что 𝑑/𝑑ℎ=γ 𝑑/𝑑𝑧, и это выражение сводится к следующему:
𝐶γ
⎛
⎜
⎝
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
η̇
-
𝑑²η
𝑑𝑧²
ξ̇
⎞
⎟
⎠
.
(8)
Кинетическая энергия на единицу объёма постольку, поскольку она зависит от скоростей смещения, может теперь быть записана в виде
𝑇
=
1
2
ρ(ξ̇²+η̇²+ζ̇²)
+
𝐶γ
⎛
⎜
⎝
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
η̇
-
𝑑²η
𝑑𝑧²
ξ̇
⎞
⎟
⎠
,
(9)
где ρ - плотность среды.
827. Составляющие 𝑋 и 𝑌 приложенной силы, отнесённые к единице объёма, могут быть выведены отсюда при помощи уравнений Лагранжа, п. 564. Заметим, что, опуская двойные интегралы по ограничивающей поверхности и дважды интегрируя по частям по 𝑥, можно показать, что
∭
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
η̇
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
∭
ξ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Следовательно,
𝑑𝑇
𝑑ξ
𝐶γ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
.
Таким образом, выражения для сил следующие:
𝑋
=
ρ
𝑑²ξ
𝑑𝑡²
-
2𝐶γ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
,
(10)
𝑌
=
ρ
𝑑²η
𝑑𝑡²
+
2𝐶γ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
.
(11)
Эти силы возникают вследствие действия всей остальной среды на рассматриваемый элемент; в случае изотропной среды они должны иметь форму, указанную Коши:
𝑋
=
𝐴₀
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
+
𝐴₁
𝑑⁴ξ
𝑑𝑧⁴
+ и т.д.,
(12)
𝑌
=
𝐴₀
𝑑²η
𝑑𝑧²
+
𝐴₁
𝑑⁴η
𝑑𝑧⁴
+ и т.д.
.
(13)
828. Если мы теперь возьмём случай циркулярно поляризованного луча, для которого
ξ
=
𝑟 cos(𝑛𝑡-𝑞𝑡)
,
η
=
𝑟 sin(𝑛𝑡-𝑞𝑡)
,
(14)
мы найдём для кинетической энергии в единице объёма
𝑇
=
1
2
ρ
𝑟²
𝑛²
-
𝐶γ
𝑟²
𝑞²
𝑛
(15)
и для потенциальной энергии в единице объёма
𝑉
=
1
2
𝑟²
(
𝐴₀𝑞²
+
𝐴₁𝑞⁴
+…
)
=
1
2
𝑄
,
(16)
где 𝑄 является функцией 𝑞².
Условие свободного распространения луча, данное уравнением (6) в п. 819, следующее:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
,
(17)
что даёт
ρ𝑛²
-
2𝐶γ
𝑞²
𝑛
=
𝑄
,
(18)
откуда можно найти величину 𝑛 как функцию 𝑞.
Но в случае луча с заданным волновым периодом, на который действует магнитная сила, мы должны определить величину 𝑑𝑞/𝑑γ при постоянном 𝑛, выраженную через 𝑑𝑞/𝑑𝑛 при постоянном γ. Дифференцируем (18):
(
2ρ𝑛
-
2𝐶γ
𝑞²
)
𝑑𝑛
-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑄
𝑑𝑞
+
4𝐶γ
𝑞𝑛
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑞
-
2𝐶
𝑞²𝑛
𝑑γ
=
0.
(19)
Таким образом, находим
𝑑𝑞
𝑑γ
=-
𝐶𝑞²𝑛
ρ𝑛-𝐶γ𝑞²
𝑑𝑞
𝑑𝑛
.
(20)
829. Если λ - длина волны в воздухе, 𝑣 - скорость распространения в воздухе, а 𝑖 - соответствующий показатель преломления в среде, то
𝑞λ
=
2π𝑖
,
𝑛λ
=
2π𝑣
.
(21)
Изменение значения 𝑞, обусловленное магнитным действием, в каждом случае составляет чрезвычайно малую часть от его собственного значения, так что мы можем записать