396. Рассмотрим теперь часть магнита, намагниченность внутри которой однородна по направлению и величине. Образуем внутри неё полость в виде цилиндра, ось которого параллельна направлению намагниченности, и на оси в центре поместим магнитный полюс.
Поскольку образующие цилиндра параллельны направлению намагниченности, на его боковой поверхности не возникнет поверхностного распределения магнетизма, а на круглых торцах, поскольку они перпендикулярны направлению намагниченности, появится однородное поверхностное распределение с поверхностной плотностью 𝐼 на отрицательном конце и -𝐼 - на положительном.
Обозначим длину цилиндра через 2𝑏, а радиус через 𝑎. Сила, действующая со стороны этих поверхностных распределений на магнитный полюс в центральной точке оси, будет обусловлена притяжением к положительному концу диска и отталкиванием от отрицательного конца диска. По величине и по направлению обе силы одинаковы, а сумма их равна
𝑅
=
4π𝐼
⎛
⎜
⎝
1-
𝑏
√𝑎²+𝑏²
⎞
⎟
⎠
.
(2)
Из этого выражения следует, что сила зависит не от абсолютных размеров полости, а от отношения длины цилиндра к его диаметру. Следовательно, какой бы малой ни делать полость, сила, связанная с поверхностным распределением магнетизма на её стенках, остаётся, вообще говоря, конечной.
397. Выше мы предполагали, что намагниченность той части магнита, из которой удаляется цилиндрический кусок, однородна и одинаково направлена. В общем случае, при отсутствии этого ограничения, во всём веществе магнита должно появиться объёмное распределение воображаемой магнитной материи, часть которой, вырезая цилиндр, мы удаляем. Однако поскольку в геометрически подобных объёмных телах силы в соответствующих точках пропорциональны линейным размерам тел, то изменение силы, действующей на магнитный полюс, обусловленное объёмной плотностью магнитной материи, будет неограниченно убывать с уменьшением размера полости, в то время как эффект, обусловленный поверхностной плотностью на стенках полости, остаётся, вообще говоря, конечным.
Таким образом, если размеры цилиндра настолько малы, что намагниченность удалённой части можно считать всюду параллельной оси цилиндра и имеющей постоянную величину 𝐼, сила, действующая на магнитный полюс, помещённый в среднюю точку на оси цилиндрической полости, будет состоять из двух сил. Первая обусловлена распределением магнитной материи как на внешней поверхности магнита, так и по всему его объёму, за исключением удалённой части. Составляющие этой силы равны величинам α, β и γ, полученным из потенциала с помощью уравнений (1). Вторая часть - это сила 𝑅, действующая вдоль оси цилиндра в направлении намагниченности. Величина этой силы зависит от отношения длины цилиндрической полости к её диаметру.
398.Случай I. Пусть это отношение очень велико, т.е. диаметр цилиндра мал по сравнению с его длиной. Разлагая выражение для 𝑅 в ряд по степеням 𝑎/𝑏, находим
𝑅
=
4π𝐼
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑎²
𝑏²
-
3
8
𝑎4
𝑏4
+ и т.д.
⎫
⎬
⎭
,
(3)
величина 𝑅 обращается в нуль, когда отношение 𝑏/𝑎 становится бесконечным.
Следовательно, если полость имеет форму очень тонкого цилиндра с осью, параллельной направлению намагниченности, то поверхностное распределение на торцах цилиндра не сказывается на магнитной силе, и её составляющие просто равны величинам α, β и γ:
α
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑥
,
β
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑦
,
γ
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑧
.
(4)
Силу внутри такой полости мы определим как магнитную силу внутри магнита. Сэр Уильям Томсон назвал это Полярным определением магнитной силы. Когда нам представится случай рассматривать эту силу как вектор, мы будем обозначать её через ℌ.
399.Случай II. Пусть длина цилиндра очень мала по сравнению с его диаметром, так что цилиндр становится тонким диском. Выражение для 𝑅 после разложения в ряд по степеням 𝑏/𝑎 принимает вид
𝑅
=
4π𝐼
⎧
⎨
⎩
1-
𝑎
𝑏
+
1
2
𝑎3
𝑏3
- и т.д.
⎫
⎬
⎭
,
(5)
предельное значение при стремлении отношения 𝑎/𝑏 к бесконечности равно 4π𝐼.
Следовательно, когда полость имеет вид тонкого диска, плоскость которого перпендикулярна направлению намагниченности, на единичный полюс, находящийся на её оси в центре, действует в направлении намагниченности сила 4π𝐼, возникающая из-за поверхностного магнетизма, распределённого на круговых поверхностях диска 1.
1 О силах внутри полостей других конфигураций
1. Произвольная узкая пещерка (crevasse). Сила, обусловленная поверхностным магнетизмом, равна 4π𝐼 cos ε и направлена по нормали к поверхности пещерки; ε - угол между этой нормалью и направлением намагниченности. Когда пещерка параллельна направлению намагниченности, сила совпадает с магнитной силой ℌ если пещерка перпендикулярна направлению намагниченности, сила совпадает с магнитной индукцией 𝔅.
2. В бесконечно вытянутом цилиндре, ось которого образует угол ε с направлением намагниченности, сила, обусловленная поверхностным магнетизмом, равна 4π𝐼 sin ε; она перпендикулярна оси и лежит в плоскости, содержащей ось цилиндра и направление намагниченности.
3. В сфере сила, обусловленная поверхностным магнетизмом, равна (4/3)π𝐼 и направлена вдоль намагниченности.
Так как намагниченность 𝐼 имеет составляющие 𝐴, 𝐵 и 𝐶, компоненты этой силы равны 4π𝐴, 4π𝐵 и 4π𝐶. Это следует объединить с силой, имеющей составляющие α, β, γ.
400. Пусть реальная сила, действующая на магнитный полюс, обозначена вектором 𝔅, а её составляющие - 𝑎, 𝑏 и 𝑐, тогда
𝑎
=
α
+
4π𝐴
,
𝑏
=
β
+
4π𝐵
,
𝑐
=
γ
+
4π𝐶
.
(6)
Мы определим силу внутри полого диска, плоские стороны которого ортогональны намагниченности, как Магнитную Индукцию внутри магнита. Сэр Уильям Томсон назвал это Электромагнитным определением магнитной силы.
Три вектора: намагниченность 𝔍, магнитная сила ℌ и магнитная индукция 𝔅, связаны векторным равенством
𝔅
=
ℌ
+
4π𝔍
.
(7)
Криволинейный интеграл от магнитной силы
401. Поскольку магнитная сила, определённая в п. 398, обусловлена свободным магнетизмом, распределённым как на поверхности магнита, так и внутреннего, и не зависит от поверхностного магнетизма полости, её можно вычислить непосредственно из общего выражения для потенциала магнита; криволинейный интеграл от магнитной силы, взятый вдоль произвольной кривой между точками 𝐴 и 𝐵, равен