857. Теперь мы должны рассмотреть электродвижущую силу, стремящуюся создать ток в элементе 𝑑𝑠', обусловленную током в элементе 𝑑𝑠, когда 𝑑𝑠 находится в движении и когда ток в нём переменный.
Согласно Веберу, действие на материал проводника, элементом которого является 𝑑𝑠', есть сумма всех действий на электричество, которое он переносит. С другой стороны, электродвижущая сила, действующая на электричество в 𝑑𝑠', является разностью электрических сил, действующих на положительное и отрицательное электричество в пределах этого элемента. Поскольку все эти силы действуют вдоль линии, соединяющей элементы, электродвижущая сила в 𝑑𝑠' также находится на этой линии, и, для того чтобы получить электродвижущую силу в направлении 𝑑𝑠', мы должны спроектировать силу на это направление. Чтобы применить формулу Вебера, мы должны вычислить различные входящие в неё члены в предположении, что элемент 𝑑𝑠 находится в движении относительно 𝑑𝑠' и что токи в обоих элементах меняются со временем. Найденные таким образом выражения будут содержать члены, включающие 𝑣², 𝑣𝑣', 𝑣'², 𝑣, 𝑣', и члены, не включающие 𝑣 или 𝑣', причём все они умножены на 𝑒𝑒'. Рассматривая, как мы делали раньше, четыре значения каждого члена и обращаясь вначале к механической силе, которая возникает из суммы четырёх значений, мы находим, что единственный член, который мы должны учитывать, это член, содержащий произведение 𝑣𝑣'𝑒𝑒'.
Если затем мы рассмотрим силу, стремящуюся произвести ток во втором элементе, возникающую вследствие разницы действия первого элемента на отрицательное и положительное электричество второго элемента, мы найдём, что единственный член, который нам следует рассмотреть, это член, содержащий 𝑣𝑒𝑒'. Мы можем записать четыре члена, входящие в ∑(𝑣𝑒𝑒'), таким способом:
𝑒'(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)
и
𝑒'₁(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)
.
Поскольку 𝑒'+𝑒'₁=0, механическая сила, обусловленная этими членами, равна нулю, но электродвижущая сила, действующая на положительное электричество 𝑒', равна (𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁), а сила, действующая на отрицательное электричество 𝑒'₁, равна и противоположна ей.
858. Предположим теперь, что первый элемент 𝑑𝑠 движется относительно 𝑑𝑠' со скоростью 𝑉 в некотором направлении, и обозначим через
╱╲
╱╲
𝑉𝑑𝑠
и
𝑉𝑑𝑠'
углы между направлением 𝑉 и направлениями 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' соответственно; тогда квадрат относительной скорости и двух электрических частиц равен
𝑢²
=
𝑣²
+
𝑣'²
+
𝑉
-
2𝑣𝑣'
cos ε
+
╱╲
╱╲
+
2𝑉𝑣
cos
𝑉𝑑𝑠
-
2𝑉𝑣'
cos
𝑉𝑑𝑠'
.
(25)
Член с 𝑣𝑣' - тот же самый, что и в уравнении (3). Член с 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен
╱╲
2𝑉𝑣
cos
𝑉𝑑𝑠
.
Мы также имеем в этом случае для значения временной производной от 𝑟
∂𝑟
∂𝑡
=
𝑣
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
𝑣'
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
+
𝑑𝑟
𝑑𝑡
,
(26)
где ∂𝑟/∂𝑡 относится к движению электрических частиц, а 𝑑𝑟/𝑑𝑡 - к движению материального проводника. Если мы образуем квадрат этой величины, то член, содержащий 𝑣𝑣', от которого зависит механическая сила, будет тем же, что и прежде в уравнении (5), а член, содержащий 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен
2𝑣
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑡
.
Дифференцируя (26) по 𝑡, мы находим
∂²𝑟
∂𝑡²
=
𝑣²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠²
+
2𝑣𝑣'
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑𝑠'
+
𝑣'²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠'²
+
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
𝑑𝑣'
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
+
+
𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
𝑣'
𝑑𝑣'
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
+
2𝑣
𝑑
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+
2𝑣'
𝑑
𝑑𝑠'
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+
𝑑²𝑟
𝑑𝑡²
.
(27)
Мы находим, что член, включающий 𝑣𝑣', - тот же самый, что и раньше в уравнении (6). Члены, которые меняют знак с изменением знака 𝑣, есть
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑠
и
2𝑣
𝑑
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑡
.
859. Если мы теперь вычислим по формуле Гаусса (уравнение (18)) результирующую электрическую силу в направлении второго элемента 𝑑𝑠', возникающую из-за действия первого элемента 𝑑𝑠, мы получим
1
𝑟²
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
𝑖𝑉
×
╱╲
╱╲
╱╲
╱╲
×
(
2cos
𝑉𝑑𝑠
-
2cos
𝑉𝑟
cos
𝑟𝑑𝑠
)
cos
𝑟𝑑𝑠'
.
(28)
Поскольку в этом выражении нет члена, включающего скорость изменения тока 𝑖, и поскольку мы знаем, что изменение первичного тока производит индуцированное действие на вторичный контур, мы не можем принять формулу Гаусса в качестве правильного выражения для действия между электрическими частицами.
860. Если, однако, мы используем формулу Вебера (19), мы получим
1
𝑟²
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
2𝑖𝑟
𝑑
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑡
-
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
,
(29)
или
𝑑
𝑑𝑡
⎛
⎜
⎝
𝑖
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
+
𝑖
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
-
𝑑²𝑟
𝑑𝑠'𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
(30)
Если мы проинтегрируем это выражение по 𝑠 и по 𝑠', мы получим для электродвижущей силы во втором контуре
𝑑
𝑑𝑡
𝑖
∬
1
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
+
𝑖
∬
1
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑𝑡