𝑡
⎛
⎜
⎝
1
𝑅𝐴₁
+
1
𝑅𝐴₂
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
,
аналогично
σ
𝐵
≃
1
4π
𝑉𝐵-𝑉𝐴
𝑡
⎧
⎨
⎩
1+
1
2
𝑡
⎛
⎜
⎝
1
𝑅𝐵₁
+
1
𝑅𝐵₂
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
.
Эти выражения уже согласуются в упомянутых выше случаях с выражениями, полученными строгими методами».
110. Д. Д. Томсон обратил внимание на то, что задача отыскания системы напряжений, обеспечивающих заданные значения силы, неоднозначна. Действительно, к любому тензору напряжений можно добавить произвольный тензор, дивергенция которого равна нулю.
140 а. При σ=0 в выражение (74) для
𝑌
(σ)
𝐶
𝑛
следует ввести коэффициент 1/2.- Коммент. Д. Д. Томсона.
143. На рис. V, помещённом в конце тома, непривычно выглядят силовые линии однородного поля внутри сферы (при удалении от центра сферы силовые линии сгущаются). Это связано со своеобразным способом нанесения силовых линий на рисунок, принятым Максвеллом для полей с аксиальной симметрией. Процедура эта подробно описана им в п. 123.
154. Приводим комментарий Д. Д. Томсона, касающийся вывода соотношений (53): «Результаты п. 154 могут быть получены следующим образом. После перехода от переменных 𝑥, 𝑦, 𝑧 к λ, μ, ν уравнение Лапласа принимает вид
𝑑
𝑑λ
⎧
⎨
⎩
(μ-ν)(𝑏-λ)½(𝑐-λ)½
(μ-𝑏)½(𝑐-μ)½(ν-𝑏)½(ν-𝑐)½
𝑑φ
𝑑λ
⎫
⎬
⎭
+…
=
0,
или
(ν-μ)
(𝑏-λ)
½
(𝑐-λ)
½
𝑑
𝑑λ
⎧
⎨
⎩
(𝑏-λ)
½
(𝑐-λ)
½
𝑑φ
𝑑λ
⎫
⎬
⎭
+
+
(ν-λ)
(μ-𝑏)
½
(𝑐-μ)
½
𝑑
𝑑μ
⎧
⎨
⎩
(μ-𝑏)
½
(𝑐-μ)
½
𝑑φ
𝑑μ
⎫
⎬
⎭
+
+
(μ-λ)
(ν-𝑏)
½
(ν-𝑐)
½
𝑑
𝑑ν
⎧
⎨
⎩
(ν-𝑏)
½
(ν-𝑐)
½
𝑑φ
𝑑ν
⎫
⎬
⎭
=
0.
После введения величин α, β, γ
𝑑α
𝑑λ
=
1
(𝑏-λ)½(𝑐-λ)½
,
𝑑β
𝑑μ
=
1
(μ-𝑏)½(𝑐-μ)½
,
𝑑γ
𝑑ν
=
1
(ν-𝑏)½(ν-𝑐)½
уравнение Лапласа принимает вид
(ν-μ)
𝑑²φ
𝑑α²
+
(ν-λ)
𝑑²φ
𝑑β²
+
(μ-λ)
𝑑²φ
𝑑γ²
=
0,
так что любые линейные функции α, β, γ удовлетворяют уравнению Лапласа.
При 𝑏=𝑐 мы можем положить
α
=-
λ
∫
0
𝑑λ
𝑏-λ
,
γ
=
ν
∫
2𝑏
𝑑ν
ν-𝑏
,
λ
=
𝑏{1-𝑒
α
}
,
ν
=
𝑏{1+𝑒
γ
}
.
Из (51) имеем
(μ-𝑏)
=
1
2
(𝑐-𝑏)
{1-cos β}
,
(𝑐-μ)
=
1
2
(𝑐-𝑏)
{1+cos β}
,
следовательно, из (50)
𝑥
=
𝑏+𝑏
(𝑒
γ
-𝑒
α
)
,
𝑦²
=
4𝑏²
𝑒
γ+α
sin²
β
2
,
𝑧²
=
4𝑏²
𝑒
γ+α
cos²
β
2
.
И если мы выберем начало координат в фокусе 𝑥=𝑏 и обозначим β через 2β', 𝑏𝑒γ через α𝑒2γ', 𝑏𝑒α через α𝑒2β, то получим
𝑥
=
𝑒
2γ'
-
𝑒
2α'
,
𝑦
=
2α𝑒
α'+γ'
sin β'
,
𝑧
=
2αε
α'+γ'
cos β'
,
откуда легко выводятся уравнения в форме (54).
Поскольку из этих уравнений следует, что радиальная составляющая электрической силы меняется как 1/𝑟, нормальная составляющая и, следовательно, поверхностная плотность будут меняться как (1/𝑟)⋅(𝑟/𝑝), где 𝑝 - перпендикуляр из фокуса на касательную плоскость; таким образом, поверхностная плотность меняется как 1/𝑝 и, следовательно, как корень квадратный из 𝑟.
164. Для более наглядного понимания утверждения Максвелла полезно пояснить его при помощи следующей иллюстрации. Пусть точки 𝐴, 𝐶 и 𝐵' являются центрами трёх сфер, причём сферы с центрами в точках 𝐵' и 𝐶 являются взаимно инверсными относительно сферы с центром в точке 𝐴. Тогда, если точка 𝐵 является инверсной для 𝐴 относительно сферы 𝐶, а 𝐶' - инверсна для 𝐴 относительно сферы 𝐵₁ то 𝐵 и 𝐵', так же как 𝐶 и 𝐶', взаимно инверсны относительно сферы 𝐴.
170. Весь текст п. 170 после выражений для α', β', γ', δ' принадлежит Нивену; он сохранён здесь, поскольку, возможно, написан по тем дополнениям в черновиках или в лекционной записи, которые остались после Максвелла.
193. Текст п. 193 после формулы (10) также принадлежит Нивену и сохранён по той же причине, что и текст в п. 170.
200. Как отметил Д. Д. Томсон, поправка на кривизну равна
⎛
⎜
⎝
1+
1
4
𝐵
𝑅
⎞
⎟
⎠
а не
⎛
⎜
⎝
1+
1
2
𝐵
𝑅
⎞
⎟
⎠
,
как это приведено в тексте; однако расхождение снимается, если под R понимать не радиус серединной окружности, а радиус малого диска (цилиндра), что, по-видимому, имел в виду Максвелл.
200. Выражение (38) является приблизительным. Как указал Нивен, точный ответ имеет вид
𝑅²
𝐵
+
2
π
𝑅 ln 2
+
𝐵
4
+
𝐵
2π²
(ln 2)²
-
𝐵
π²
∞
∑
1
1
2𝑛
1
𝑛²
=
π²
12
-
1
2
(ln 2)²
,
что отличается от (38) приближённо на 0,28 В.
350. Последний абзац п. 350 отсутствует в первом издании.
357. «В журнале «Phil. Mag.» за 1877 г., т. 1, с. 515-525 г-н Оливер Лодж указал на существование недостатка в методе Манса. Поскольку электродвижущая сила батареи зависит от проходящего через неё тока, отклонение стрелки гальванометра не может быть одинаковым при обоих положениях переключателя, если справедливо, конечно, уравнение 𝑎α=𝑏γ. Г-н Лодж описывает некоторую удачно использованную им модификацию метода Манса». - Примеч. У. Нивена.