388. «В случае (3) говорят, что первый магнит ориентирован по направлению ко второму магниту, а второй ориентирован «боком» по отношению к первому. С помощью формул (6), (7) легко доказать, что если бы первый магнит был ориентирован боком по отношению ко второму, то момент сил, действующих на второй магнит, был бы равен 𝑚₁𝑚₂/𝑟². Таким образом, момент сил в случае, когда отклоняющий магнит ориентирован по направлению к отклоняемому, вдвое больше, чем в случае, когда он ориентирован боком по отношению к последнему. Гаусс показал, что если бы сила менялась обратно пропорционально 𝑝-й степени расстояния между полюсами, то момент при ориентации отклоняющего магнита по направлению к отклоняемому был бы в 𝑝 раз больше, чем в случае ориентации отклоняющего магнита боком по отношению к отклоняемому. Сравнивая моменты сил в этих двух положениях, можно проверить закон обратных квадратов более точно, чем это возможно при помощи крутильных весов». - Коммент. Д. Д. Томсона.
404. У Фарадея термин «сфонднлоид» (sphondiloid) введён в п. 3271 (т. III, с. 586) в статье «О физическом характере линий магнитной силы» (см. также п. 82). В дальнейшем этот термин не прижился.
426. Значение ϰ=1600 вставлено в текст Д. Д. Томсоном, что несколько противоречит максвелловским данным ϰ=32; 45 (см. п. 425).
443. Здесь Максвелл без оговорок рассматривает внешнюю силу 𝑥, как непосредственно воздействующую на отдельную молекулу магнита. В действительности же действующая сила может отличаться от внешней, что особенно существенно для таких веществ, как железо, где намагниченность 𝐼≫𝑥₀. На это обстоятельство обратил внимание Д. Д. Томсон.
444. Здесь Максвелл не очень чётко сформулировал своё предположение, что привело к появлению нескольких разъясняющих комментариев Д. Д. Томсона и У. Нивена. Максвелл, по-видимому, имел в виду следующую модель, в рамках которой получаются приводимые им теоретические результаты:
если внешняя сила отклоняет молекулу на угол, меньший β₀, то после снятия силы молекула возвращается в исходное состояние равновесия; если внешняя сила вызывает отклонение на угол, больший β₀, то это вызывает смещение положения равновесия молекулы до тех пор, пока отклонение от нового (смещённого) положения равновесия не станет равно β₀; после снятия намагничивающей силы такая молекула «вернётся» в новое положение равновесия.
454. Комментарий Д. Д. Томсона, поясняющий оптимальный выбор расстояния, на котором получается минимальная ошибка при однократном измерении, сводится к следующему: при однократном измерении
𝑄
=
2𝑀
𝐻
=
𝐷𝑟³
, ошибка
δ𝑄
=
δ𝐷𝑟³
+
3𝐷𝑟³
δ𝑟
,
если ошибки измерений δ𝐷 и δ𝑟 независимы, то
(δ𝑄)²
=
𝑟⁶(δ𝐷)²
+
9𝐷²𝑟⁴
(δ𝑟)²
=
𝑟⁶(δ𝐷)²
+
9
𝐷²
𝑟²
(δ𝑟)²
.
Эта величина минимальна, когда
δ𝐷
𝐷
=
√
3
δ𝑟
𝑟
.
486. Максвелл не приводит вывода формулы для работы, совершаемой магнитом при полном обороте вокруг оси; это место независимо комментировалось и Нивеном, и Томсоном. Мы приводим здесь некоторое объединённое рассуждение.
Как ясно из рис. 23 п. 491, при движении вокруг оси 𝑂 южный полюс (над плоскостью рисунка) и северный полюс (под плоскостью рисунка) совершают разные работы над полем. Последнее складывается из поля, создаваемого неизменным током 𝑖, текущим по подводящим проводам и вдоль оси 𝑂, и изменяющимися токами 𝑖-𝑥 и 𝑖-𝑦, текущими по контурам 𝐵𝑄𝑃𝑂 и 𝐵𝑅𝑃𝑂. При движении магнитного полюса по замкнутому контуру в постоянном магнитном поле работа отлична от нуля только в том случае, когда контур охватывает ток; следовательно, южный полюс никакой работы не совершает, а работа северного полюса (направление Север→Восток→Юг→Запад соответствует движению по часовой стрелке в плоскости рисунка) равна 4π𝑚𝑖. Поле от изменяющихся токов вычисляется как градиент скалярного потенциала; потенциал же пропорционален телесному углу, под которым виден контур с током из точки нахождения магнитного полюса. Обозначим через Ω𝑥 и Ω𝑦 телесные углы, под которыми видны контуры 𝐵𝑄𝑃𝑂𝑍 и 𝐵𝑅𝑃𝑂𝑍 из южного полюса магнита, а через Ω𝑥' и Ω𝑦' - из северного. Ясно, что при этом можно условно считать возвратную ветвь 𝑂𝑍 находящейся в плоскости рисунка - это сдвинет потенциал только на постоянную величину. Более того, нетрудно убедиться, что вклад в результирующую работу при движении полюсов по окружности вокруг оси 𝑂 даёт только поле тока, текущего по перемещающемуся отрезку 𝑃𝑂, поскольку созданное кольцевым током магнитное поле перпендикулярно направлению движения. В результате работа в поле меняющихся токов будет определяться соотношением
𝑚
2π
∫
0
⎡
⎢
⎣
(𝑖-𝑥)
𝑑
𝑑θ
(
Ω
𝑥
+
Ω
𝑥
')
+
(𝑖-𝑦)
𝑑
𝑑θ
(
Ω
𝑦
+
Ω
𝑦
')
⎤
⎥
⎦
𝑑θ
=
=
-𝑚𝑖2π
(
Ω
+
Ω
')
,
что и даёт формулу, приводимую Максвеллом.
487. Приводим изложение комментария Д. Д. Томсона, относящегося к выводу формулы для угла, под которым пересекаются на контуре две эквипотенциальные поверхности.
Для определения угла пересечения двух эквипотенциальных поверхностей, опирающихся на общий контур, рассмотрим вспомогательную сферу бесконечно малого (в масштабах контура) радиуса, касательную к кромке контура. Введём сферическую систему координат, отсчитывая полярный угол в от оси, проходящей через центр сферы параллельно касательной к контуру в месте его пересечения со сферой, а азимутальный угол φ - от этой касательной. Тогда телесный угол, под которым виден контур из центра сферы, будет равен
ω₁
=
α₁
∫
0
𝑑φ
π
∫
0
sin θ
𝑑θ
=
2α
.
Отсюда ясно, что угол между двумя эквипотенциальными поверхностями даётся формулой, приводимой в тексте:
α₁
-
α₂
=
ω₁-ω₂
2
.
Это соотношение нарушается в точках излома и самопересечения контура.
497. Максвелл считает правой стороной тока ту, которая находится справа от наблюдателя, стоящего на горизонтальной плоскости и смотрящего вдоль тока,- Коммент. Д. Д. Томсона.
536. Д. Д. Томсон обратил внимание, что независимость электромагнитной силы индукции от материала проводника предполагает, что этот материал немагнитный.
584. В конце п. 584 Д. Д. Томсоном сделано дополнение, которое ниже приводится без сокращений.